Núcleu (matemàtica)

Núcleu i image d'un operador llineal $L:V\to W$.

Un eixemple de kernel: l'operador llineal $L:(x,y)⟶(x,x)$ transforma tots els punts de la llínea $(x=0,y)$ en el punt zero $(0,0)$, per lo que formen el kernel de l'operador llineal.

En matemàtiques i especialment en àlgebra llineal, donada la transformació llineal $L:V\to W$, el kernel o núcleu de $L$, denotat per $\mathrm{Ker}(L)$ o $\mathrm{Nuc}(L)$, es definix com el conjunt de tots els vectors en $V$ l'image baix del qual $L$ siga el vector nul de $W$, és dir, el $\mathrm{Ker}(L)$ es definix com

$\mathrm{Ker}(L)=\{\overrightarrow{v}\in V:L(\overrightarrow{v})={\overrightarrow{0}}_W\}$

Eixemples

Considere la funció

$\begin{array}{cc}f:{ℝ}^2& \to ℝ\\ (x,y)& \mapsto x-y\end{array}$

que és llineal complix que per a $\alpha \in ℝ$ i $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in {ℝ}^2$

$\begin{array}{cc}f(\alpha (x_1,y_1)+(x_2,y_2))& =f(\alpha x_1+x_2,\alpha y_1+y_2)\\ & =(\alpha x_1+x_2)-(\alpha y_1-y_2)\\ & =(\alpha x_1-\alpha y_1)+(x_2-y_2)\\ & =\alpha (x_1-y_1)+(x_2-y_2)\\ & =\alpha f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)\end{array}$.

El seu núcleu consistix en tots aquells vectores que la seua primera i segona coordenada coincidixen puix

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ker}(f)& =\{(x,y)\in {ℝ}^2:f(x,y)=0\}\\ & =\{(x,y)\in {ℝ}^2:x-y=0\}\\ & =\{(x,y)\in {ℝ}^2:x=y\}\\ & =\{(x,x)\in {ℝ}^2:x\in ℝ\}\end{array}$

en concret el $\mathrm{Ker}(f)$ és el conjunt:

$\mathrm{Ker}(f)=\{(x,x)\in {ℝ}^2:x\in ℝ\}$

que és el mateix que la varietat llineal generada pel vector (1,1), que descriu la recta $y=x$ en ${ℝ}^2$.

En l'espai euclídeo de dimensió 3, el núcleu d'una forma llineal està format per tots aquells vectores que són ortogonals a un dau. Per eixemple, donat el vector a = (1,2,3), la forma llineal donada pel producte escalar $a\cdot x$ té per núcleu els vectores que satisfan l'equació matricial

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=0$,

que equival a l'equació llineal:

$x_1+2x_2+3x_3=0$ .

La solució és un atre subespacio de dimensió 2, que es pot descriure per eixemple com el subespacio generat pels vectores: $ℒ((-2,1,0),(-3,0,1))$.

Propietats

Donat un operador llineal $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ en matriu associada $A$, el núcleu és un subespacio de ${ℝ}^n$, la dimensió del qual es denomina nulitat de $A$, que coincidix en el número de columnes que no tenen pivots al reduir per files la matriu $A$. El teorema ranc-nulitat establix que el ranc més la nulitat és igual al número de columnes de la matriu.

Vore també

• Conjunt image.
• Teorema ranc-nulitat.