Teorema ranc-nulitat

En matemàtiques, la teorema ranc–nulitat és una teorema en àlgebra llineal, que diu que la dimensió del domini d'una transformació llineal és la suma del seu ranc (dimensió de la seua image) i la seua nulitat (la dimensió del seu núcleu o kernel).

Teorema ranc-nulitat. $T:V\to W$. La dimensió del núcleu de T més la dimensió de l'image de T és igual a la dimensió de l'espai vectorial de partida V.

Teorema

Sean $V$ i $W$ espais vectorials en $\dim V<+\mathrm{\infty }$ i siga $T:V\to W$ una transformació llineal llavors

$\mathrm{Rank}(T)+\mathrm{Null}(T)=\dim V$

a on

$\begin{array}{cc}\mathrm{Rank}(T)& :=\dim (\mathrm{Im}(T))\\ \mathrm{Null}(T)& :=\dim (\mathrm{Ker}(T))\end{array}$

és dir

$\dim (\mathrm{Im}(T))+\dim (\mathrm{Ker}(T))=\dim V$

Demostració

Siga $T:V\to W$ una transformació llineal. Supongam que el conjunt $\{{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_m\}\subset V$ forma una base del núcleu de $T$, ($\text{Ker}T$). Pel teorema d'intercanvi de Steinitz, podem estendre este conjunt per a formar una base de $V$: $ℬ=\{{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_m,{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n\}\subseteq V$. ya que la dimensió del núcleu de $T$ és $m$ i la dimensió de $V$ és $m+n$, només es necessita demostrar que la dimensió de l'image de $Dim$ ($\text{Im}T$) és $n$.

Vejam que el conjunt $\{T({𝐰}_1),\dots ,T({𝐰}_n)\}\in W$ és una base de $\text{Im}T$. Per a això, es deu demostrar que genera a $\text{Im}T$ i que és linealmente independent.

Siga $v$ un vector arbitrari en $V$. Com $ℬ$ és base de $V$, existixen escalares únics $a_1,\mathrm{...},a_m,b_1,\mathrm{...},b_n\in 𝕂$ tals que:

$𝐯=a_1{𝐮}_1+\cdots +a_m{𝐮}_m+b_1{𝐰}_1+\cdots +b_n{𝐰}_n\Rightarrow$

$\Rightarrow T(𝐯)=a_{1}T({𝐮}_1)+\cdots +a_{m}T({𝐮}_m)+b_{1}T({𝐰}_1)+\cdots +b_{n}T({𝐰}_n)=b_{1}T({𝐰}_1)+\cdots +b_{n}T({𝐰}_n)$,

puix $u_i\in \text{Ker}T\Rightarrow T(u_i)=0\mathrm{\forall }i\in \{1,\mathrm{...}m\}$

Per lo tant, $\{T({𝐰}_1),\dots ,T({𝐰}_n)\}$ genera a $\text{Im}T$.

Ara, només es necessita demostrar que el conjunt $\{T({𝐰}_1),\dots ,T({𝐰}_n)\}$ és linealmente independent. Podem fer açò demostrant que una combinació llineal d'estos vectores és zero si i només si el coeficient de cada vector és zero. Sean $c_1,\mathrm{...},c_n\in 𝕂$ tals que:

$c_{1}T({𝐰}_1)+\cdots +c_{n}T({𝐰}_n)=\mathrm{𝟎}\Rightarrow T(c_1{𝐰}_1+\cdots +c_n{𝐰}_n)=\mathrm{𝟎}$

$\therefore c_1{𝐰}_1+\cdots +c_n{𝐰}_n\in \mathrm{Ker}T$

Llavors, ya que $\{u_i{\}}_{i=1}^m$genera a $\text{Ker}T$, existixen escalares $d_1,\mathrm{...},d_m\in 𝕂$ tals que:

$c_1{𝐰}_1+\cdots +c_n{𝐰}_n=d_1{𝐮}_1+\cdots +d_m{𝐮}_m$

Pero, ya que $ℬ=\{{𝐮}_1,\dots ,{𝐮}_m,{𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n\}$ forma una base de $V$, en particular és linealmente independent i, per tant, tots els escalares $c_i$, $d_j$ deuen ser zero. Per lo tant, en particular, els $c_i$ són zero i el conjunt $\{T({𝐰}_1),\dots ,T({𝐰}_n)\}$ és linealmente independent i forma una base de $\text{Im}T$. Per definició de dimensió, açò prova que la dimensió de $\text{Im}T$ és $n$, com es desijava. $◻$

Vore també

• Núcleu
• Nulitat
• Image
• Ranc