Teorema d'intercanvi de Steinitz

La teorema d'intercanvi de Steinitz és una teorema bàsica del àlgebra llineal que s'utilisa, per eixemple, per a demostrar que dos bases qualssevol d'un espai vectorial de dimensió finita tenen el mateix número d'elements. La teorema rep el nom del matemàtic alemà Ernst Steinitz.

Enunciat

Siga $V$ un espai vectorial sobre un cos $𝕂$. Sean $U$ i $W$ subconjunts finitos de $V$ tals que $U$ és linealmente independent i $W$ és generador de $V$. Llavors,

1. $\left|U\right|\le \left|W\right|$
2. Existix un subconjunt $W^{\prime }\subseteq W$ de cardinal $\left|W^{\prime }\right|=\left|W\right|-\left|U\right|$ tal que $U\cup W^{\prime }$ genera $V$.

Demostració

Com, per hipòtesis, $U$ i $W$ són finitos, podem definir $m:=\left|U\right|$ i $n:=\left|W\right|$. Per tant, podem supondre que $U=\{u_1,\mathrm{...},u_m\}$ i $W=\{w_1,\mathrm{...},w_n\}$. Per a demostrar la teorema, procedim per inducció sobre $m$:

Case base ($m=0$):

Veem que (1) és cert, puix $\left|W\right|\ge 0=m=\left|U\right|$. Ademés, (2) és cert perque podem prendre $W^{\prime }=W$ i tenim que

• $\left|W^{\prime }\right|=\left|W\right|=\left|W\right|-0=\left|W\right|-m=\left|W\right|-\left|U\right|$,
• $U\cup W^{\prime }=\mathrm{\varnothing }\cup W^{\prime }=W^{\prime }=W$, que és, per hipòtesis, generador de $V$.

Pas inductivo:

Per al pas inductivo anem a supondre que l'enunciat de la teorema és cert per a $m-1$ i anem a vore que ho és per a $m$. Per tant, prenem $U=\{u_1,\mathrm{...},u_m\}$, que és linealmente independent i anem a demostrar lo que diu la teorema, suponent, per hipòtesis d'inducció, que podem afirmar lo que diu este para conjunts linealmente independents de cardinal $m-1$.

Aixina, tenim que $U=\{u_1,\mathrm{...},u_m\}$ és linealmente independent i llavors $\{u_1,\mathrm{...},u_{m-1}\}\subset U$ és linealmente independent. El cardinal d'este conjunt és $m-1$, per lo que podem aplicar-li l'hipòtesis d'inducció. Fent-ho obtenim que

(a) $m-1\le n$

(b) $\mathrm{\exists }{W}^{″}\subseteq W$ de cardinal $\left|W^{″}\right|=n-(m-1)=n-m+1$ tal que $\{u_1,\mathrm{...},u_{m-1}\}\cup W^{″}$ genera $V$.

Per (b), tenim que $W^{″}$ consta de $n-m+1$ vectores de $W$. Podem supondre, sense pèrdua de generalitat, que estos vectores són els últims de la llista d'elements de $W$, puix si no ho anaren, podríem reordenar eixa llista per a posar-los en últim lloc. Aixina que, considerem $W^{″}=\{w_m,\mathrm{...},w_n\}$. Per lo tant, (b) es pot reescriure com $\{u_1,\mathrm{...},u_{m-1},w_m,\mathrm{...},w_n\}$ i genera a $V$.

Considerem ara el vector $u_m\in U\subseteq V$. Com l'anterior conjunt és generador de $V$, existixen certs ${\alpha }_1,\mathrm{...},{\alpha }_{m-1},{\beta }_m,\mathrm{...},{\beta }_n\in 𝕂$ tals que

$u_m={\alpha }_1{u}_1+\mathrm{...}+{\alpha }_{m-1}{u}_{m-1}+{\beta }_m{w}_m+\mathrm{...}+{\beta }_n{w}_n$ $(*)$

Llavors tenim que $\left|W^{″}\right|\ge 1$, puix si fora buit tindríem que $u_m={\alpha }_1{u}_1+\mathrm{...}+{\alpha }_{m-1}{u}_{m-1}$ i llavors $U$ no seria linealmente independent, en lo que aplegaríem a contradicció. Per tant, obtenim de la relació de cardinals en (b) que $n-m+1=$$\left|W^{″}\right|\ge 1\Rightarrow n+1\ge m+1\Rightarrow n\ge m\Rightarrow \left|U\right|\le \left|W\right|$, en lo que (1) queda ya demostrat.

Només nos queda, puix, demostrar (2). En el mateix raonament d'abans, tenim que ${\beta }_i\ne 0$ per a algun $i=m,\mathrm{...},n$, puix si no tindríem que $u_m={\alpha }_1{u}_1+\mathrm{...}+{\alpha }_{m-1}{u}_{m-1}$ i aplegaríem a contradicció igual que abans. Com algun ${\beta }_i\ne 0$, podem supondre, sense pèrdua de generalitat, que ${\beta }_m\ne 0$, puix si fora un atre coeficient el ${\beta }_i\ne 0$ podríem reordenar els térmens. Si denotem $[A]$ el subespacio generat per un conjunt de vectores $A$, anem a vore que $[U\cup \{w_{m+1},\mathrm{...},w_n\}]=[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},u_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]=[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},w_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]=\{u_1,\mathrm{...},u_{m-1}\}\cup W^{″}=V$.

La primera i la penúltima igualtat es donen per definició de $U$ i $W^{″}$, respectivament, i l'última per (b). Només tenim que provar, puix, la segona.

Per $(*)$ tenim que $u_m$ és combinació llineal de $\{u_1,\mathrm{...},u_{m-1},w_m,\mathrm{...},w_n\}$, per lo que $[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},u_m,w_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]=[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},w_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]$.

Per un atre costat, com ${\beta }_m\ne 0$, en $(*)$ podem rebujar $w_m$ com $w_m=\frac{1}{{\beta }_m}{u}_m-\sum _{i=1}^{m-1}\frac{{\alpha }_i}{{\beta }_m}{u}_i-\sum _{i=m+1}^n\frac{{\beta }_i}{{\beta }_m}{w}_i$, per lo que $w_m$ és combinació llineal de $\{u_1,\mathrm{...},u_{m-1},u_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n\}$, de lo que obtenim que $[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},u_m,w_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]=[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},u_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]$. Per lo tant,

$[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},u_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]=[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},u_m,w_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]=[u_1,\mathrm{...},u_{m-1},w_m,w_{m+1},\mathrm{...},w_n]$, l'igualtat que quedava per provar.

Aixina que, tenim que $[U\cup \{w_{m+1},\mathrm{...},w_n\}]=V$, i si prenem $W^{\prime }=\{w_{m+1},\mathrm{...},w_n\}$, tenim que $W^{\prime }\subseteq W$, $\left|W^{\prime }\right|=n-m=\left|W\right|-\left|U\right|$ i $U\cup W^{\prime }$ genera a $V$, és dir, hem demostrat (2), i en açò conclou la demostració. $◻$

Bibliografia

• Juliol R. Bastida, Field extensions and Galois Theory, Addison–Wesley Publishing Company (1984).