Cardinalidad

En matemàtiques, la cardinalidad d'un conjunt és la mida de el "número d'elements en el conjunt". Per eixemple, el conjunt A = {2, 4, 6} conté 3 elements, i per tant A té cardinalidad 3. Existixen dos aproximacions a la cardinalidad, una que compara conjunts directament usant biyecciones i injeccions, i una atra que utilisa número cardinal. La cardinalidad d'un conjunt també se sol cridar el seu tamany, quan no existix confusió en atres nocions de tamany.

La cardinalidad d'un conjunt A usualment es denota | A |, en una pleca en cada costat; esta és la mateixa notació que la del valor absolut i el significat depén del context. Alternativament, la cardinalidad de A es pot denotar per n(A), A, card(A), o # A.

Comparació de conjunts

Mentres que la cardinalidad d'un conjunt finito és simplement el número dels seus elements, per a estendre la noció a conjunts infinits habitualment s'escomença definint la noció de comparació en conjunts arbitraris (en particular infinits).

Funció biyectiva de N en I. Encara que I és un subconjunt propi de N, abdós conjunts tenen la mateixa cardinalidad.

Definició 1: Plantilla:Absf = Plantilla:Absf

Dos conjunts A i B tenen la mateixa cardinalidad si existix una biyección, açò és, una funció inyectiva i suprayectiva, de A en B. Es diu que dits conjunts són equipotentes o equipolentes. Esta relació es pot denotar A ≈ B o w B.

Per eixemple, el conjunt I = {0, 2, 4, 6, ...} de número par no negatius té la mateixa cardinalidad que el conjunt N = {0, 1, 2, 3, ...} de número natural, ya que la funció f(n) = 2n és una biyección de N sobre I.

Definició 2: Plantilla:Absf ≤ Plantilla:Absf

A té cardinalidad menor o igual que la cardinalidad de B si existix una funció inyectiva de A en B.

Definició 3: Plantilla:Absf < Plantilla:Absf

A té cardinalidad estrictament menor que la cardinalidad de B si tota funció inyectiva de A en B no és suprayectiva.

Per eixemple, el conjunt N dels número natural té cardinalidad estrictament menor que la cardinalidad del conjunt R dels número real, ya que l'aplicació inclusió i : N → R és inyectiva, pero es pot provar que no existix una funció biyectiva de N en R (per eixemple, a través del argument de la diagonal de Cantor).

Si Plantilla:Absf ≤ Plantilla:Absf i Plantilla:Absf ≤ Plantilla:Absf llavors Plantilla:Absf = Plantilla:Absf (teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder). Els axioma d'un preorden també són verificats per ≤. L'axioma d'elecció és equivalent a l'afirmació de que dit preorden és total, és dir, Plantilla:Absf ≤ Plantilla:Absf o Plantilla:Absf ≤ Plantilla:Absf para tot A, B.

Número cardinal

Artícul principal → Número cardinal.

En lo anterior, la cardinalidad es va definir funcionalmente. Açò és, la cardinalidad d'un conjunt no es va definir com un objecte específic en sí. No obstant, es pot definir dit objecte com seguix:

La relació de tindre la mateixa cardinalidad es denomina equipotencia, i esta és una relació d'equivalència sobre la classe de tots els conjunts. La classe d'equivalència d'un conjunt A baix esta relació consistix per tant en tots els conjunts en la mateixa cardinalidad que A. Hi ha dos maneres de definir la cardinalidad d'un conjunt

1. La cardinalidad d'un conjunt A es definix com la seua classe d'equivalència baix la equipotencia.
   
2. Es designa un conjunt representatiu per a cada classe d'equivalència. L'elecció més habitual és l'ordinal inicial en dita classe. Esta es pren usualment com la definició de número cardinal en teoria de conjunts axiomàtica.

Assumint l'axioma d'elecció, les cardinalidades dels conjunts infinits es denoten

${\mathrm{\aleph }}_0<{\mathrm{\aleph }}_1<{\mathrm{\aleph }}_2<\dots .$

Per a cada ordinal $\alpha$, ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}$ és el menor número cardinal major que ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$.

La cardinalidad dels número natural es denota álef-0 (${\mathrm{\aleph }}_0$), mentres que la cardinalidad dels número real es denota "$𝔠$" (una lletra Fraktur minúscula "c"), també es denomina cardinalidad del continu. Cantor va provar, usant l'argument de la diagonal, que $𝔠>{\mathrm{\aleph }}_0$. Es pot provar que $𝔠=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$, sent esta també la cardinalidad del conjunt de tots els subconjunts dels número natural. La hipòtesis del continu afirma que ${\mathrm{\aleph }}_1=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$, açò és, $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ és el menor número cardinal major que ${\mathrm{\aleph }}_0$, i per tant no hi ha cap conjunt que la seua cardinalidad estiga estrictament entre la dels sancers i la dels número real. L'hipòtesis del continu és independent dels axioma de Zermelo-Fraenkel, una axiomatisació estàndar de la teoria de conjunts; açò és, és impossible provar o negar l'hipòtesis del continu o la seua negació a través dels axioma de Zermelo-Fraenkel (sent estos consistents).

Vore també

• Número cardinal
• Álef
• Número de Beth
• Conjunt numerable
• Contar
• Ordinalidad