Álef (cardinals)

Archiu:U+2135.svg

Álef (cardinals)

Archiu:Aleph0.svg

Álef 0, el més chicotet de tots els números transfinitos (cardinals).

En la teoria de conjunts, álef ($\mathrm{\aleph }$, primera lletra del alfabet hebreu) és un signe amprat per a referir-se a certs números transfinitos que de fet resulten ser números ordinals inicials i per tant número cardinal. Varen ser introduïts per primera volta pel matemàtic Georg Cantor.

En l'anàlisis matemàtic, apareixen freqüentment álef 0 i álef 1, encara que poden definir-se números transfinitos arbitrariamente grans, més allà d'estos dos. El cardinal álef 0 representa la cantitat d'elements d'un conjunt infinit com el dels número natural, i de fet este cardinal és el número transfinito més menut. Georg Cantor, que va inaugurar la teoria de conjunts, va demostrar que existien diferents tipos d'infinits incommensurables entre sí, i per tant, no tots els conjunts infinits eren equipotentes. Cantor va demostrar que el conjunt dels número real tenia "més elements" que els número entero (si ben cap dels dos conjunts és finito, abdós diferien en el seu grau de "infinitat"). El número d'elements de la recta real es va representar com $𝔠$ o $({\mathrm{\aleph }}_1)$.

Pot provar-se rigorosament que donada la classe formada per tots els números ordinals, existix un únic isomorfisme (d'orde) entre esta classe i la classe dels cardinals transfinitos. Este isomorfisme, denotat com $\mathrm{\aleph }$, s'ampra en teoria de conjunts per a construir cardinals transfinitos arbitrariamente grans. Dit isomorfisme és un epimorfisme (isomorfisme suprayectivo) i, per tant, matemàticament tots els cardinals transfinitos resulten ser un cardinal de tipo álef.

Eixemples de números álef

Álef 0 $({\mathrm{\aleph }}_0)$

El més chicotet de tots els números transfinitos (cardinals), i el més simple d'entendre conceptualment és ${\mathrm{\aleph }}_0$ (es llig com álef sub zero o álef zero). Este cardinal és el número d'elements del conjunt dels número natural. En anàlisis matemàtic pot definir-se de manera senzilla i intuïtiva la classe de conjunts numerables (conjunts que el seu cardinal és ${\mathrm{\aleph }}_0$). Qualsevol conjunt que puga posar-se en correspondència biunívoca en els número natural és un conjunt numerable. En térmens pràctics, açò significa que els elements d'un conjunt numerable poden "etiquetar-se" com 1, 2, 3 ... de tal manera que a cada element de dit conjunt li corresponga un número natural (i res més que un número natural).

Més formalment, dins de la teoria axiomàtica de conjunts de Zermelo-Fraenkel, l'axioma de l'infinit postula l'existència d'un conjunt infinit que pot equiparar-se fàcilment en els número natural la cardinal resulta dels quals ser ${\mathrm{\aleph }}_0$.

Álef 1 $({\mathrm{\aleph }}_1)$

En matemàtiques, es definix ${\mathrm{\aleph }}_1$ com el menor cardinal major que ${\mathrm{\aleph }}_0$, és dir, el menor cardinal major que el cardinal del conjunt dels número natural. És dir, ${\mathrm{\aleph }}_1$ és el successor de ${\mathrm{\aleph }}_0$, la qual cosa s'escriu ${\mathrm{\aleph }}_1={\mathrm{\aleph }}_0^{+}$.

En anàlisis matemàtic, s'interpreta usualment al cardinal ${\mathrm{\aleph }}_1$ com la cantitat d'número real, assumint com a certa la hipòtesis del continu. Per a justificar açò es partix del teorema de Cantor. Esta teorema afirma que el cardinal de $𝒫(\mathbb{N})$ és major que ${\mathrm{\aleph }}_0$, a on $\text{card}(𝒫(\mathbb{N}))=\text{card}(ℝ)$ és el cardinal del conjunt potencia dels número natural, que és exactament el mateix que el cardinal dels número real. Aixina que,

lo que, considerant que $\text{card}(ℝ)=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$, pot escriure's també aixina:

En la teoria ZFC, l'axioma d'elecció permet provar que

mentres que la hipòtesis del continu afirma que

és dir, que el cardinal dels número real és exactament ${\mathrm{\aleph }}_1$. No obstant, els treballs de Kurt Gödel (1938) i Paul Cohen (1963) varen demostrar que de fet l'hipòtesis del continu és indecidible dins de l'axiomàtica de Zermelo-Fraenkel (ZF) i per tant l'hipòtesis del continu no pot ser demostrada a partir de ZF (ni desconfirmada dins de la teoria de conjunts ordinària donada pels axioma ZF).

Més allà de álef 1 $({\mathrm{\aleph }}_1)$

La teorema de Cantor sobre el conjunt potencia afirma que per a qualsevol conjunt A es complix que:

Açò obri la possibilitat de que existixquen cardinals transfinitos majors que ${\mathrm{\aleph }}_1$. La hipòtesis del continu generalisada de fet permet ordenar els cardinals transfinitos de manera senzilla, ya que en essència afirma que:

Álef 2

El cardinal álef 2 $({\mathrm{\aleph }}_2)$ designa, assumint com a vàlida l'hipòtesis del continu generalisada, el cardinal transfinito del conjunt potencia dels número real, i per tant podria adoptar-se com a definició també ${\mathrm{\aleph }}_2=2^{{\mathrm{\aleph }}_1}$, per tant, la cantitat de possibles subconjunts d'número real seria ${\mathrm{\aleph }}_2$. Igualment acceptant la hipòtesis del continu generalisada, pot demostrar-se que ${\mathrm{\aleph }}_2$ també és el cardinal del conjunt de totes les funcions reals ya que:

Mentres que les funcions contínues tenen cardinal ${\mathrm{\aleph }}_1$, ya que

Açò últim es deu a que una funció contínua queda determinada si s'especifica el seu valor sobre els número racional, que són numerables i per tant tenen ${\mathrm{\aleph }}_0$ com a cardinal.

El conjunt de parts de qualsevol espai vectorial real o complex de dimensió finita té també cardinal ${\mathrm{\aleph }}_2$.

Álef ω

En matemàtica, es definix ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ com el cardinal singular (cardinal no regular) més chicotet de tots. A diferència de ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$, els primers cardinals transfinitos com ${\mathrm{\aleph }}_0,{\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,\dots$ són tots ells cardinals regulars. Una atra propietat notòria de ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ és que és un cardinal que no és successor de cap atre (a diferència de lo que passa en ${\mathrm{\aleph }}_n,n\in N,n\ge 1$), ya que el seu índex ω és un ordinal llímit. El fet de que ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ siga el cardinal singular més chicotet possible significa que és el cardinal més chicotet tal que el seu cofinalidad és menor que el propi cardinal, és dir:

Ya que l'ordinal ω coincidix en el cardinal ${\mathrm{\aleph }}_0$ (els dos signes representen el mateix conjunt), tècnicament es podria escriure el cardinal ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$ com una aplicació reiterada de la funció álef, és dir:

Encara que eixa manera d'escriure-ho no és tan comuna.

Funció álef

En teoria de conjunts, la funció álef és l'únic $\in$-isomorfisme entre la classe dels ordinals $\mathrm{O}\mathrm{n}$ i la classe dels cardinals infinits $\mathrm{I}\mathrm{C}\mathrm{n}$ és dir:

Usualment esta funció es designa per mig de $\mathrm{\aleph }$ encara que és comuna escriure el seu valor sobre un ordinal α com ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ més que com $\mathrm{\aleph }(\alpha )$. Pot demostrar-se que esta és una funció normal, és dir, és una funció monòtona creixent i ademés contínua (en el sentit dels ordinals).

Vore també

• Infinit
• Teoria de conjunts
• Georg Cantor
• Números transfinitos
• Hipòtesis del continu

Bibliografia

• Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded, 2006, Springer Science & Business Mija, Plantilla:Isbn. 1st ed. 1978;