Hipòtesis del continu

En teoria de conjunts, la hipòtesis del continu (també coneguda com a primer problema de Hilbert) és un enunciat relatiu a la cardinalidad del conjunt dels número real, formulat com una hipòtesis per Georg Cantor en 1878. El seu enunciat afirma que no existixen conjunts infinits el tamany dels quals estiga estrictament comprés entre el del conjunt dels número natural i el del conjunt dels reals. El nom continu fa referència al conjunt dels reals.

L'hipòtesis del continu va ser un dels 23 problemes de Hilbert proposts en 1900. Les contribucions de Kurt Gödel i Paul Cohen varen demostrar que és de fet independent dels axioma de Zermelo-Fraenkel, el conjunt de axioma estàndar en teoria de conjunts.

Introducció

En teoria de conjunts, el concepte de número cardinal s'introduïx per a classificar i estudiar els distints tipos d'infinits. El cardinal del conjunt dels número natural N es denota per ℵ₀ (alef zero). Els conjunts dels número entero Z i dels número racional Q tenen el mateix cardinal, i es diuen numerables. El conjunt dels número real R té un cardinal més gran denotat per c (per continu), el valor precís del qual és 2^ℵ₀ quan s'expressa en l'aritmètica de cardinals infinits.

Esta expressió pot entendre's en escriure un número real, ya que en general és necessari incloure en el seu part fraccionaria una successió infinita de sifres:

$\pi =\mathrm{3.14159...}$

La cantitat d'número real que poden escriure's és igual al número de combinacions possibles. Per eixemple, un número de 3 sifres té 10³ = 1000 valors possibles. En el cas d'un número real arbitrari el número de sifres és infinit o, d'un atre modo, el número de sifres és ℵ₀, per lo que existixen 10^ℵ₀ valors possibles. ya que la base d'esta expressió és finita mentres que la seua exponent és infinit, el valor concret de la base no afecta al valor final de l'expressió, i pot escriure's també com 2^ℵ₀. No obstant la notació de 2^ℵ₀ deriva de que el número de subconjunts que es poden fer en n elements és 2ⁿ (vore binomi de Newton). I és que R és isomorfo a les parts de N, la qual cosa pot provar-se de forma elegant i breu veent que tot R és isomorfo a (0,1); i a la seua volta, si escrivim els elements de (0,1) en base binaria i de cada element senyalem les posicions a on hi ha 1, nos queda clarament un element de les parts de N, i per a cada conjunt de N trobem un número en (0,1). Per lo tant R no pot ser numerable.

Un subconjunt infinit de R té necessàriament un cardinal, o ben menor que 2^ℵ₀ (i.g., els número natural N en cardinal ℵ₀), o ben igual a 2^ℵ₀ (i.g. l'interval [0, 1] dels números entre 0 i 1). L'hipòtesis del continu afirma precisament que no és possible trobar un subconjunt de R en cardinal comprés entre ℵ₀ i 2^ℵ₀.

Enunciat

L'hipòtesis del continu afirma que no existixen conjunts en cardinalidades intermiges entre els naturals i els reals:

Si se supon l'axioma d'elecció, l'estructura dels cardinals infinits és més clara: tots els cardinals infinits són álefs i estan ben ordenats, per lo que existix solament un cardinal immediatament superior a ℵ₀, denotat per ℵ₁. L'hipòtesis és equivalent llavors a:

Vore també

• Teorema de Cantor
• Número ordinal (teoria de conjunts)

• Número cardinal

• Conjunt finito
• Conjunt infinit

• Conjunt numerable

• Espai compacte

• Conjunt no numerable

• Hipòtesis del continu

Bibliografia

• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded) (en anglés), Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Koellner, Peter. «Continuum Hypothesis» (en anglés). Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2013 edition). Archivat des d'el original, el 1 de novembre de 2015. Consultat el 29 de juliol de 2013.