Argument de la diagonal de Cantor

L'argument de la diagonal de Cantor, també conegut com a método de la diagonal, és una argumentació o demostració matemàtica entrevista per Georg Cantor cap a 1891 per a demostrar que el conjunt dels número real no és numerable.

Un eixemple de cóm funciona l'argument diagonal de Cantor per a provar l'existència d'un conjunt no numerable. Donada la llista inicial, formada per números en alguna sifra marcada en roig, pot provar-se que cap element de la llista coincidix en el número l'expressió del qual té les sifres marcades en blava, ya que dit número diferix de tots i cada u dels anteriors.

Esta demostració de l'impossibilitat de contar o enumerar els número real no va ser la primera, pero sí la més senzilla i elegant. Posteriorment, esta demostració va inspirar atres demostracions, conegudes com a argument diagonal per l'analogia en esta demostració.

Número real

La prova original de Cantor demostra que l'interval [0,1] no és numerable, és dir, no podem enumerar la llista de tots els reals dins de l'interval (sempre hi haurà més). S'estén a tots els reals, ya que és possible equipotenciar estos a l'interval. Podem demostrar que lo que és vàlit per a l'interval [0,1] lo és per a qualsevol un atre, per gran que siga (exceptuant l'interval [0,0] que té un sol valor, el zero).

La demostració és per reducció a l'absurt:

1. Se supon que l'interval [0,1] és infinit numerable.
2. En eixe cas es podria elaborar una seqüència de números, ( r₁, r₂, r₃,... ).
3. Se sap que, per mig de notació decimal, a cada u dels reals entre 0 i 1 li'l pot representar únicament per mig de la totalitat de les seues sifres decimals.
4. Es coloquen els números en la llista (no necessàriament en orde), considerant inclús els decimals periòdics com els que tenen infinits nueves: 0.499... = 0.500....

La seqüència podria tindre un aspecte similar a:

r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0...

r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3...

r₃ = 0. 8 2 4 5 0 2 6...

r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6...

r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6...

r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8...

r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5...

...

Donada la primera premissa dita llista conté tots els número real entre 0 i 1. En açò, es pot construir un número x que deuria estar en la llista. Per a això usem els números de la diagonal.

r₁ = 0. 5 1 0 5 1 1 0...

r₂ = 0. 4 1 3 2 0 4 3...

r₃ = 0. 8 2 4 5 0 2 6...

r₄ = 0. 2 3 3 0 1 2 6...

r₅ = 0. 4 1 0 7 2 4 6...

r₆ = 0. 9 9 3 7 8 3 8...

r₇ = 0. 0 1 0 5 1 3 5...

...

• El número x està definit aixina: al k-ésimo dígit decimal de x li correspon el k-ésimo dígit decimal de r_k més 1 (en cas que fora un nou, se li assigna el dígit zero)

Llavors x= 0.6251346....

El número x és clarament un real. Pero... ¿On està x?

• Si yo volguera dir que x està en l'enèsim lloc de la meua llista, no seria cert, ya que l'enèsim dígit de r_n és distint al de x.
• Llavors esta no és una llista completa dels reals en l'interval [0,1].
• Existix una contradicció, que naix de la premissa de supondre que estos números són infinits numerables.

Per a estendre este resultat al camp $ℝ$ tenim que establir una relació biyectiva entre este interval i els reals. Açò és possible gràcies a una funció com esta:

$\begin{array}{cccc}f:& (0,1)& \to & ℝ\\ & x& \to & y=f(x)=\tan \left[\pi (x-\frac{1}{2})\right]\end{array}$

En açò podem dir que hi ha tants número real com a reals hi ha entre 0 i 1.

Número entero positius

L'argument de la diagonal de Cantor està íntimament lligat al Teorema de Cantor. La relació entre abdós pot entendre's en térmens de la numerabilidad d'un conjunt. Un conjunt es diu numerable o contable si existix una relació inyectiva entre els elements del conjunt i els número entero positius; açò és, si és possible organisar als elements del conjunt de tal manera que tots els elements del conjunt apareixen abans o despuix, inclús repetides voltes, en la llista. En tal cas, els elements del conjunt poden ser assignats en un 'marcador' o 'índex', que seria el corresponent número entero positiu (açò és, al primer element de la llista li seria assignada l'etiqueta 1; al segon, 2; etc.). Quan açò és possible, és dir, quan el conjunt és numerable, operar en els elements del conjunt o en les seues etiquetes és equivalent.

L'argument de la diagonal de Cantor establix que

Demostració

Siga P el conjunt de tots els conjunts de número entero positius. Siga L una llista infinita qualsevol de conjunts de sancers positius:

$L=\{S_1,S_2,S_3,\dots \}$

a on $S_1,S_2,S_3,\dots$ són conjunts qualssevol de sancers positius. Si el conjunt P fora numerable, llavors seria possible definir una llistaL tal que incloga a tots els conjunts de número entero positius. No obstant, l'argument de diagonalisació demostra que açò no és possible.

Siga $\overline{d}(L)$ un conjunt de número entero positius definit com seguix:

$\overline{d}(L)=\{n\in {\mathbb{Z}}^{+}:n\notin S_n\}$

a on ${\mathbb{Z}}^{+}$ és el conjunt de número entero positius. Açò indica que $\overline{d}(L)$ està format per tots aquells sancers positius n tals que al mateix temps no formen part del conjunt $S_n$ de la llistaL. Per tant, la composició de $\overline{d}(L)$ depén de la composició de la llistaL. És fàcil vore que $\overline{d}(L)$ existix: suponga's per eixemple que $S_8$ és el conjunt de tots els números positius impar. Llavors, $n=8$ no pertany a $S_8$, i per tant pertany a $\overline{d}(L)$.

Si P fora numerable, llavors deuria existir una llistaL tal que $\overline{d}(L)$ formara part d'ella com a element $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$. En el cas del qual, se seguiria que

$S_m=\overline{d}(L)$.

Açò implica una contradicció, puix quan $n=m$, ocorre que $m\in \overline{d}(L)⟺m\notin S_m=\overline{d}(L)$, açò és, $m$ deuria formar i no formar part de $\overline{d}(L)$ al mateix temps.

Per tant, no és possible construir una llistaL tal que continga a lo manco una volta a tots els elements del conjunt de tots els conjunts de número entero positius. Dit d'un atre modo, el conjunt P de tots els conjunts de sancers positius no és numerable.

Referències