Número ordinal (teoria de conjunts)

Representació de l'ordinal ω^ω. Cada regrés al voltant d'esta espiral representa una potencia sancera de ω: la primera conté als número natural 0, 1, 2, ... La segona aplega fins a ω² passant per cada ordinal ω·m + n, en m, n naturals; la tercera aplega fins a ω³ passant per cada ordinal ω²·m + ω·n + p; etc.

En teoria de conjunts, un número ordinal, o simplement ordinal, és un representant del tipo d'orde d'un conjunt ben ordenat. D'esta manera, els ordinals classifiquen tots els possibles conjunts ben ordenats. Varen ser introduïts per Georg Cantor en 1897.

Els ordinals finitos (aixina com els cardinals finitos) són els número natural 0, 1, 2,..., ya que dos órdens totals d'un conjunt finito són isomorfos sobre l'orde. Al primer ordinal infinit se li denota ω.

En el cas infinit, els ordinals oferixen una distinció més fina que els cardinals, que només representen la cantitat d'elements. Aixina, mentres només existix un cardinal infinit numerable ℵ₀, existixen infinits ordinals infinits i numerables:

que es corresponen en distintes maneres d'ordenar el conjunt dels número natural.

Introducció històrica

En la seua obra Fonaments per a una teoria general de conjunts, Georg Cantor va introduir l'idea dels números transfinitos com una generalisació dels número natural. Observant la successió dels número natural:

$0,1,2,3,\dots ,$

afirmava que esta descansa sobre «el principi d'agregar una unitat a un número ya format i disponible». A este principi, que Cantor va denominar "primer principi de generació", s'afegia la possibilitat de considerar un nou número, ω, major que tots els número natural (que per supost no és cap d'ells), i aplicar de nou el primer principi

$0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\omega +3,\dots ,$

Esta segona successió de «números» ω + n es prestava igualment a considerar un número major que tota ella, ω + ω = ω·2. En resum, Cantor introduïa el "segon principi de generació", el qual

[...] donada una determinada successió de verdaders número entero definits, entre els quals no hi ha cap que siga el major d'ells, [...] es crea un nou número al que es concep com a llímit d'aquells números, açò és, es definix com el número immediatament major que tots ells.

Esta successió pot llavors continuar-se indefinidament:

$0,1,2,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega \cdot 3,\dots ,\omega \cdot n,\dots ,\omega \cdot \omega ={\omega }^2,\dots ,{\omega }^3,\dots ,{\omega }^n,\dots ,{\omega }^{\omega },\dots ,$

Usant esta successió de números transfinitos, Cantor va poder estudiar el concepte de número ordinal. Un número natural pot utilisar-se per a representar la posició dins d'una successió ordenada: 1.º, 2.º, 3.º,... Cantor va descobrir que qualsevol successió ordenada, finita o infinita, està «continguda» en la successió de números transfinitos (concretament, qualsevol successió ben ordenada). També dins d'esta successió es troben els número cardinal, que representen el «número d'elements» d'un conjunt infinit.

Definició

Conjunts ben ordenats

Artícul principal → Conjunt ben ordenat.

Un conjunt ben ordenat és un conjunt en una relació d'orde entre els seus elements que verifica que donada qualsevol subcolección no buida dels seus elements, esta posseïx un element mínim. L'importància dels conjunts ben ordenats residix en l'inducció transfinita, que afirma que en un conjunt A d'estes característiques, les propietats que un element hereta dels seus predecessors són posseïdes per la totalitat dels elements de A.

Un ordinal és un objecte matemàtic que classifica tots els distints conjunts ben ordenats possibles. Per supost, ha d'evitar-se la possibilitat de classificar en ordinals diferents dos conjunts ben ordenats distints que en el fondo constituïxquen un «reetiquetado» l'u de l'atre.

Classes d'equivalència

Una possible definició per a classificar tots els tipos d'orde possible és agrupar a tots els conjunts ben ordenats isomorfos baix orde en una classe d'equivalència. Est és l'enfocament que es va prendre en els Principia Mathematica. Està definició ha de ser abandonada en ZF i demés sistemes axiomàtics relacionats, ya que dites classes d'equivalència són massa grans per a formar un conjunt.

Definició de von Neumann

En lloc de definir-ho com una classe d'equivalència, el procediment més habitual per a classificar els bons órdens és triar un representant canònic, de manera unívoca, en cada una d'estes classes. La definició estàndar, sugerida per John von Neumann és:

La construcció estàndar dels número natural en teoria de conjunts assegura que estos són ordinals. En esta construcció es definix el zero com el conjunt buit 0 ≡ ∅ = {}, i a partir d'ahí, cada número es definix com el conjunt que conté als anteriors: 1 ≡ {0}, 2 ≡ {0, 1}, etc.

De la definició donada per von Neumann pot provar-se:

Al (únic) ordinal isomorfo a un conjunt ben ordenat A se li denota per Plantilla:Overline o ord(A).

Classificació

Pot demostrar-se que si α és un ordinal, també ho és α′ ≡ α ∪ {α}. Est és el cridat ordinal següent a α, i és el menor ordinal major que α. Els ordinals diferents de zero es dividixen en dos classes ben diferenciades:

Per eixemple, tots els número natural majors que zero, , són ordinals successors. L'ordinal dels número natural ω és un ordinal llímit (el primer d'ells).

Vore també

• Teoria de l'orde
• Número ordinal (matemàtiques)
• Número cardinal

Conjunt finito

Conjunt infinit

Conjunt numerable

Espai compacte

Conjunt no numerable

Hipòtesis del continu

Referències

• Cantor, Georg (2006). Fonaments per a una teoria general de conjunts. Escrits i correspondència selecta, Crítica. ISBN 84-8432-695-0.
• Devlin, Keith (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (en anglés), Springer-Verlag. ISBN 0-387-94094-4.
• .