Conjunt buit

Des de principis del XX, en la matemàtica, particularment en la teoria axiomàtica de Conjunts de ZF o la teoria intuïtiva de conjunts, el conjunt buit és el que no posseïx element algun. ya que lo únic que definix a un conjunt és la propietat que satisfan els seus elements, el conjunt buit és únic.

Algunes propietats dels conjunts són òbviament certes per al conjunt buit. En una teoria axiomàtica de conjunts, l'existència d'un conjunt buit es postula.

Història

El concepte de "conjunt buit", representa l'idea d'un conjunt que no conté elements. El seu desenroll és fonamental en l'història de la teoria de conjunts i les matemàtiques, particularment en la transició de les nocions clàssiques de números i coleccions a un marc més formal i abstracte per a entendre els objectes matemàtics.

L'història del conjunt buit pot rastrejar-se fins als primers fonaments de la teoria de conjunts en el XIX. La formalisació de la teoria de conjunts va escomençar en el treball de Georg Cantor a finals de 1800. Cantor és conegut per desenrollar la teoria de la cardinalidad, que se centra en els tamanys dels conjunts infinits.^[1] Encara que Cantor no va definir explícitament el conjunt buit, el seu treball va assentar les bases per a desenrolls posteriors. Tractava els conjunts com a coleccions d'objectes i estava interessat en les propietats d'estes coleccions, lo que va preparar el terreny per a tractaments més rigorosos dels conjunts i els seus elements.

La primera menció explícita del conjunt buit va aparéixer en els treballs de Richard Dedekind i Giuseppe Peano,^[2] els qui, basant-se en les idees de Cantor, estaven formalisant els fonaments de l'aritmètica i l'àlgebra. Dedekind, en particular, estava interessat en definir els números en térmens de conjunts. El seu treball sobre els número natural va incloure definir el 0 com el conjunt buit ∅, lo que va marcar un moment important en el desenroll del concepte.^[3] Esta visió vinculava el conjunt buit directament en l'idea de "res", ya que representava l'absència d'elements en una colecció.

No obstant, no va ser fins a principis del XX, en el desenroll de la teoria formal de conjunts per Ernst Zermelo i Abraham Fraenkel, que el conjunt buit es va integrar completament en un marc matemàtic rigorós. Els #axioma de Zermelo de 1908 per a la teoria de conjunts^[4] (més tart refinats en la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel, o ZFC) varen fer del conjunt buit un component fonamental del sistema axiomàtic. Els #axioma de Zermelo-Fraenkel^[5] inclouen un axioma de "extensionalidad", que essencialment afirma que els conjunts estan determinats pels seus elements, i un axioma del "conjunt buit", que garantisa l'existència d'un conjunt sense elements.

L'inclusió del conjunt buit com un objecte fonamental en la teoria de conjunts té conseqüències de gran alcanç en les matemàtiques modernes. Servix com el bloc de construcció per a conjunts més complexos i és crucial per a comprendre l'estructura d'objectes matemàtics, com a funcions, relacions i espais topològics. La seua utilitat s'estén a casi totes les branques de les matemàtiques, des de la llògica fins a la topología, i és essencial en la formalisació de demostracions matemàtiques, a on el conjunt buit a sovint representa un cas base o la condició nula en definicions inductivas i recursivas.

Definició i notació

El conjunt buit és el conjunt que no té elements.

El conjunt buit és denotat pels símbols: ∅ o $\emptyset$ derivats de la lletra Ø de les llengües danesa i noruega, entre unes atres. Esta notació va ser introduïda per André Weil en 1939.^[6] Una atra notació comuna per al conjunt buit és la notació extensiva, especificant els seus elements (cap) entre claus:

{}

El conjunt buit $\emptyset$ és el conjunt de tots els elements $x$ tal que $x \neq x$ .

Expressió analítica : Siga el conjunt en l'espai vectorial R $S = {x \in 𝐙 : x^{2} - x - 2 = 0} .$ . Llavors $S = \emptyset$ ^[7]

Propietats

És necessari i llegítim parlar de «el conjunt buit» i no de «un conjunt buit». El conjunt buit posseïx certes propietats:

Moltes afirmacions sobre el conjunt buit són trivialment certes, per la següent propietat:

Siga una propietat expressada per mig d'un predicat (com «ser mortal» o «ser un número primo»). Llavors tots els elements del conjunt buit posseïxen eixa propietat.

Esta teorema és certa perque el conjunt buit no té elements, i dir «tot home en ∅ és immortal» és lo mateix que afirmar que «no hi ha cap home mortal en ∅», i açò últim és trivialment cert. Ademés, el conjunt buit actua com el zero en les operacions del àlgebra de conjunts:

Adicionalment, el conjunt potencia del conjunt buit és el que conté només al mateix conjunt buit, és dir, ${\emptyset}$ . Per lo tant, el número cardinal de $𝒫 (\emptyset) = {\emptyset}$ és $| 𝒫 (\emptyset) | = 1$ .

Atres propietats

L'intersecció d'un conjunt i el seu complementari és el conjunt buit. En símbols: $A \cap A^{c} = \emptyset$ .
El conjunt $\emptyset$ és obert i tancat.
La diferència de qualsevol conjunt conseguixc mateixa és el conjunt buit. $A ∖ A = \emptyset$ .
En la diferència simètrica definida en un conjunt potencia , el conjunt buit és l'element neutre, açò és, $A Δ \emptyset = A$ .
En una partició d'un conjunt induïda per una relació d'equivalència, l'intersecció de dos classes distintes és el conjunt buit. $k \neq l \Rightarrow A_{k} \cap A_{l} = \emptyset$ .
El conjunt buit és element del conjunt potencia de qualsevol conjunt, necessàriament. $\emptyset \in 𝒫 (A)$ .^[8]
L'unió d'una família buida de conjunts és el conjunt buit.
L'intersecció d'una família buida de conjunts és el conjunt buit.
$\emptyset$ figura com a element propi de tota topología sobre X. Notació: $\emptyset \in T (X)$ . I és tancat, al mateix temps que obert en qualsevol topología.^[9]
L'intersecció de l'interior del conjunt A en l'interior del seu complementari és $A^{\circ} \cap B^{\circ} = \emptyset$ a on $B = X ∖ A$ .
L'intersecció de l'interior en la seua frontera és $A^{\circ} \cap \partial A = \emptyset$ .
El conjunt $A = {x / x \in ℛ}$ tal que $| x | < 0$ és igual a $\emptyset$ .^[10]
En càlcul de provabilitats el conjunt buit representa el succés impossible i P(∅) = 0.^[11]

En atres àrees de les matemàtiques

Número real estesos

Ya que el conjunt buit no té membres quan es considera com un subconjunt de qualsevol conjunt ordenat, cada membre d'eixe conjunt serà un llímit superior i inferior per al conjunt buit. Per eixemple, quan es veu com un subconjunt dels número real, en la seua orde habitual, representat per una recta numèrica real, cada número real és un llímit superior i inferior per al conjunt buit.^[12] Quan es veu com un subconjunt dels valors reals estesos formats en agregar dos "números" o "punts" als número real (és dir, infinit negatiu, denotat $- \infty,$ que es definix com a menor que qualsevol atre número real aumentat, i l'infinit positiu , denotat per $+ \infty,$ , que es definix com a major que qualsevol atre número real aumentat), obtenim que:

$\sup \emptyset = \min ({- \infty, + \infty} \cup ℝ) = - \infty,$ i $\inf \emptyset = \max ({- \infty, + \infty} \cup ℝ) = + \infty .$

En atres paraules, el llímit superior més chicotet (sup o supremum) del conjunt buit és infinit negatiu, mentres que el llímit inferior més gran (inf o infimum) és infinit positiu. Per analogia en lo anterior, en el domini dels valors reals estesos, l'infinit negatiu és l'element idèntic per als operadors màxim i suprem, mentres que l'infinit positiu és l'element identitat per als operadors mínim i ínfim.

Topología

En qualsevol espai topològic X, el conjunt buit és obert per definició, de la mateixa manera que X. Ya que el complement del conjunt obert és tancat, i el conjunt buit i X són complementaris entre sí, el conjunt buit també és tancat, lo que ho convertix en un conjunt obert-tancat. Ademés, el conjunt buit és compacte pel fet de que tot conjunt finit és compacte.

El tancament del conjunt buit és buit. Açò es coneix com "preservació d'unions nules".

Teoria de categories

Si $A$ és un conjunt llavors hi ha exactament una funció $f$ des del $\emptyset$ cap a $A,$ que és una funció buida. Per lo tant, el conjunt buit és l'únic objecte inicial de la categoria de conjunt i funció.

Un conjunt buit es pot convertir en un espai topològic, cridat espai buit, d'una sola manera: definint que el conjunt buit siga obert. Este espai topològic buit és un objecte inicial únic en la categoria d'espais topològics en mapes continus. De fet, és un objecte inicial estricte: solament el conjunt buit té una funció de conjunt buit.

Teoria de conjunts

En la construcció ordinal de von Neumann, 0 es definix com el conjunt buit, i el successor de l'ordinal es definix com $S (α) = α \cup {α}$ . Llavors tenim $0 = \emptyset$ , $1 = 0 \cup {0} = {\emptyset}$ , $2 = 1 \cup {1} = {\emptyset, {\emptyset}}$ , i aixina successivament.^[13] La construcció de Von Neumann, junt en l'axioma de l'infinit, que garantisa l'existència d'a lo manco un conjunt infinit, pot usar-se per a construir el conjunt de número natural, $ℕ_{0}$ , tal que se satisfacen els #Axioma de Peano de l'aritmètica.

Existència qüestionada

Qüestions històriques

En el context dels conjunts de número real, Cantor va utilisar $P \equiv O$ per a denotar « $P$ no conté cap punt». Esta notació $\equiv O$ es va utilisar en definicions; per eixemple, Cantor va definir dos conjunts com disjuntos si la seua intersecció té absència de punts; no obstant, és discutible si Cantor va considerar $O$ com un conjunt existent per sí mateixa, o si Cantor simplement va utilisar $\equiv O$ com un predicat de buit. Zermelo va acceptar $O$ en sí mateixa com un conjunt, pero ho va considerar un «conjunt impropi».^[14]

Teoria axiomàtica de conjunts

En la teoria de conjunts de Zermelo, l'existència del conjunt buit està assegurada pel axioma de conjunt buit, i la seua unicitat es deriva del axioma de extensionalidad. No obstant, l'axioma del conjunt buit pot mostrar-se redundante a lo manco de dos maneres: La llògica de primer orde estàndar implica, simplement a partir dels #axioma llògics, que "alguna cosa" existix, i en el llenguage de la teoria de conjunts, eixa cosa deu ser un conjunt. Ara be, l'existència del conjunt buit es deriva fàcilment del axioma de separació.

Inclús utilisant la llògica lliure (que no implica llògicament que alguna cosa existixca), ya existix un axioma que implica l'existència d'a lo manco un conjunt, a saber, l'axioma de l'infinit.

Qüestions filosòfiques

Encara que el conjunt buit és un concepte matemàtic estàndart i àmpliament acceptat, seguix sent una curiositat ontològica, el significat de la qual i utilitat debaten filòsofs i llògics.

El conjunt buit no és lo mateix que res; més be, és un conjunt en res adins i un conjunt sempre és alguna cosa. Este problema pot superar-se considerant un conjunt com una bossa: una bossa buida seguix existint, sense dubte. Darling (2004) explica que el conjunt buit no és res, sino «el conjunt de tots els triànguls en quatre costats, el conjunt de tots els números que són majors que nou pero menors que huit, i el conjunt de totes les moviments d'obertura en escacs que impliquen un rei.»^[15]

El silogisme popular

"Res és millor que la felicitat eterna; un entrepà de cuixot és millor que res; per lo tant, un entrepà de cuixot és millor que la felicitat eterna"

s'utilisa a sovint per a demostrar la relació filosòfica entre el concepte de res i el conjunt buit. Darling escriu que el contrast pot vore's reescrivint les afirmacions «Res és millor que la felicitat eterna» i «[Un] entrepà de cuixot és millor que res» en to matemàtic. Segons Darling, la primera equival a «El conjunt de totes les coses que són millors que la felicitat eterna és ∅ » i la segona a «El conjunt {sándwich de cuixot} és millor que el conjunt ∅ ». El primer compara elements de conjunts, mentres que el segon compara els conjunts en sí.^[15]

El filòsof Jonathan Lowe sosté que si ben el conjunt buit

va ser sense dubte una fita important en l'història de les matemàtiques, ... no deuríem assumir que la seua utilitat en el càlcul depén de que realment denote algun objecte.

també és el cas que:

Tot lo que se nos diu sobre el conjunt buit és que (1) és un conjunt, (2) no té membres, i (3) és únic entre els conjunts per no tindre membres. No obstant, hi ha moltes coses que «no tenen membres», en el sentit de la teoria de conjunts— a saber, tots els no-conjunts. Està perfectament clar per qué estes coses no tenen membres, ya que no són conjunts. Lo que no està clar és cóm pugues haver, únicament entre els conjunts, un conjunt que no tinga membres. No podem conjurar tal entitat en existència per mera estipulació.«^[16]

George Boolos va argumentar que molt de lo obtingut fins ara per la teoria de conjunts pot obtindre's en la mateixa facilitat per mig de quantificació plural sobre individus, sense reificar conjunts com a entitats singulars que tenen atres entitats com a membres.^[17]

Vore també

Referències

↑ Cantor, Georg. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Contributions to the Foundation of the Theory of Transfinite Numbers). (1895) Vieweg 142 pag. ISBN: 978-3-528-04480-0
↑ Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita (The Principles of Arithmetic, Exposed by a New Method). (1889) Bocca 112 pag. ISBN: 978-1-60558-266-4
↑ Dedekind, Richard. Was sind und was sollen die Zahlen? (What llaure Numbers and What Should They Be?). (1888) Vieweg 78 pag. ISBN: 978-3-528-19282-2
↑ Zermelo, Ernst. Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (Investigations in the Foundations of Set Theory). (1908) Springer 103 pag. ISBN: 978-3-642-61189-7
↑ Fraenkel, Abraham A., et al. Zermelo-Fraenkel Set Theory: With the Axiom of Choice. (1973) North-Holland 150 pag. ISBN: 978-0-444-86574-2
↑ Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician, Birkhäuser. ISBN 9783764326500. Pàgina 114.
↑ Yu. M. Korshunov Fonaments de la cibernètica Editorial Mir Moscou s/f
↑ Carlos Vega: Notes de Matemàtica, Editorial de l'Universitat de Sant Marcos
↑ Lipschitz:Topología Colecció Schaumm
↑ Casimiro Kuratowski Introducció a la teoria de conjunts i a la topología
↑ Moya i un atre:Provabilitat i inferència estadística
↑ Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., i Thomson, B.S. (2008). ¡Anàlisis real elemental, 2ª edició, p. 9.
↑ Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4.
↑ A. Kanamori, «The Empty Set, the Singleton, and the Ordered Pair», p.275. Bolletí de Llògica Simbòlica vol. 9, no. 3, (2003). Consultat el 21 d'agost de 2023.
↑ ^15,0 ^15,1 D. J. Darling (2004). John Wiley and Sons (ed.). El llibre universal de les matemàtiques, p. 106. ISBN 0-471-27047-4.
↑ I. J. Lowe (2005). Routledge (ed.). Locke, I. J. Lowe, p. 87.
↑ George Boolos (1984), «Ser és ser el valor d'una variable», The Journal of Philosophy 91: 430-49. Reimpreso en 1998, Llògica, llògica i llògica (Richard Jeffrey, i Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54-72.

Bibliografia

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).

Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto vacío» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Cantor, Georg. Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Contributions to the Foundation of the Theory of Transfinite Numbers). (1895) Vieweg 142 pag. ISBN: 978-3-528-04480-0

[2] Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita (The Principles of Arithmetic, Exposed by a New Method). (1889) Bocca 112 pag. ISBN: 978-1-60558-266-4

[3] Dedekind, Richard. Was sind und was sollen die Zahlen? (What llaure Numbers and What Should They Be?). (1888) Vieweg 78 pag. ISBN: 978-3-528-19282-2

[4] Zermelo, Ernst. Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre (Investigations in the Foundations of Set Theory). (1908) Springer 103 pag. ISBN: 978-3-642-61189-7

[5] Fraenkel, Abraham A., et al. Zermelo-Fraenkel Set Theory: With the Axiom of Choice. (1973) North-Holland 150 pag. ISBN: 978-0-444-86574-2

[6] Weil, André (1992). The apprenticeship of a mathematician, Birkhäuser. ISBN 9783764326500. Pàgina 114.

[7] Yu. M. Korshunov Fonaments de la cibernètica Editorial Mir Moscou s/f

[8] Carlos Vega: Notes de Matemàtica, Editorial de l'Universitat de Sant Marcos

[9] Lipschitz:Topología Colecció Schaumm

[10] Casimiro Kuratowski Introducció a la teoria de conjunts i a la topología

[11] Moya i un atre:Provabilitat i inferència estadística

[12] Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., i Thomson, B.S. (2008). ¡Anàlisis real elemental, 2ª edició, p. 9.

[13] Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4.

[14] A. Kanamori, «The Empty Set, the Singleton, and the Ordered Pair», p.275. Bolletí de Llògica Simbòlica vol. 9, no. 3, (2003). Consultat el 21 d'agost de 2023.

[«Darling»-15] 15,0 ^15,1 D. J. Darling (2004). John Wiley and Sons (ed.). El llibre universal de les matemàtiques, p. 106. ISBN 0-471-27047-4.

[Lowe-16] I. J. Lowe (2005). Routledge (ed.). Locke, I. J. Lowe, p. 87.

[17] George Boolos (1984), «Ser és ser el valor d'una variable», The Journal of Philosophy 91: 430-49. Reimpreso en 1998, Llògica, llògica i llògica (Richard Jeffrey, i Burgess, J., eds.) Harvard University Press, 54-72.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]