Suma buida

En matemàtica, una suma buida és una sumatoria en la que no intervé cap terme. El valor d'una suma buida de números és -per convenció- igual a zero. Per a sumatorias entre entitats no numèriques (vectores, matrius, polinomis, etc.) definides per lo general dins d'un grup abeliano, el valor de la suma buida és l'element neutre d'eixe grup.

Una suma buida sorgix particularment en expressions del tipo

$\sum _{i=a}^b{t}_i$,

para a > b; en tal case la sumatoria té el valor 0 (o l'element zero del grup aditiu al com pertany t_i).

Un cas anàlec es dona en la multiplicació, en a on el producte buit és el resultat de multiplicar entre sí cap número. En este cas, el resultat no és zero sino u, que correspon a l'element neutre de l'operació multiplicació.

Convenció en sumatorias

La suma buida, o inclús la suma d'un sol terme, no influïx en la definició de la suma, que requerix exactament dos operants. La necessitat de considerar sumes buides sorgix dins de les sumatorias, del procés de "sumar junts" una colecció de valors que pot tindre un tamany arbitrari. Per a una colecció finita de dos o més números, les lleis conmutativa i associativa de l'adició impliquen que cada expressió formada únicament per l'adició, i en la qual cada membre apareix exactament una volta com operant, té el mateix valor; açò definix l'operació suma de la colecció. Per a coleccions infinites de valors, esta definició no procedix, ya que cap expressió (finita) les pot combinar utilisant únicament operacions d'adició; la noció de série matemàtica pot utilizarase en certs casos de coleccions infinites, pero açò requerix de conceptes més amplis que solament la suma, com el de llímit matemàtic.

Definir la suma per a qualsevol colecció finita de valors, incloent el cas d'una colecció en menys de dos elements, no invalida les propietats usuals de les sumatorias, en particular, el fet d'agregar un nou valor x a una colecció, afig x a la suma de la colecció. Esta propietat implica llavors que la suma d'una colecció que conté un sol valor v és v, i que la suma d'una colecció sense elements és 0, l'element neutre per a la suma. Alternativament, es pot definir la suma d'una seqüència finita de valors per mig d'inducció sobre la seua llongitut, començant en la seqüència buida de suma 0. Abdós nocions definixen el mateix concepte de suma, esta última sense necessitat de definir la suma buida per separat.

Rellevància de la definició de sumes buides

La necessitat d'adjudicar-li un valor a una suma buida pugues no resultar immediatament òbvia, puix pot semblar estrany formular una suma si no hi ha res que sumar. No obstant, les sumes buides sorgixen de manera implícita quan el ranc dels valors que s'estan sumant depenen de paràmetros desconeguts, ranc que pot aplegar a ser buit per a alguns valors d'estos paràmetros. No definir el valor d'una suma buida dificultaria, en alguns casos, la possibilitat d'efectuar definicions precises, puix caldria considerar els casos especials cada volta que es presente una suma buida. Requeriria ademés, un esforç adicional en qualsevol demostració que involucre sumatorias, per a assegurar-se de que no apareixen sumes buides. Les raons per a definir la suma buida són similars a les raons que hi ha per a definir el zero o el conjunt buit: si ben no semblen ser nocions particularment interessants, la seua existència faculta la presentació matemàticament formal dels resultats.

Un motiu inclús més fort per a la seua definició, sorgix quan certes nocions són definides en térmens de l'existència de sumatorias; no definir sumes buides alteraria implícitament estes nocions de manera molt poc desijable. Per eixemple, en teoria de números, una partició d'un sancer n pot dfinirse com una seqüència decreixent de sancers positius que la seua suma és n. cal destacar que hi ha exactament una partició del número 0 (la majoria de les particions no funcionarien si no hi haguera una partició de el 0), i ya que els térmens deuen ser positius, la partició buida és l'única possibilitat. Més generalment, és freqüent en combinatòria que certs valors siguen considerats com a membres d'una classe donada, en virtut d'una suma buida, per eixemple el 0 és un número triangular posat que

$\sum _{i=1}^{0}i=0.$

Eixemple: combinacions llineals buides

Fòra de la combinatoria, les descomposicions aditivas són menys freqüents que les multiplicativas, per lo que els arguments per a definir les sumes buides són menys obvis que els arguments per a definir els productes buits. No obstant, l'àlgebra llineal proveïx un eixemple en el cas de combinacions llineals buides. Una caracterisació d'un conjunt linealmente depenent és que un dels seus elements pot ser escrit com a combinació llineal dels atres elements; si açò s'aplica al conjunt linealmente dependent que conté solament al vector zero, se seguix que el vector zero és una combinació llineal de cap vector, la qual cosa seria una suma buida de vectores. Encara més, tot espai vectorial de dimensió finita admet una base, el número de la qual d'elements és igual a la seua dimensió, i tot element d'eixe espai vectorial pot ser expressat de manera única com a combinació llineal de vectores base; aplicant açò a un espai de dimensió 0, que conté exactament un vector (el vector zero), l'única possibilitat per a una base és el conjunt buit (tant perque es necessiten 0 elements, com perque el vector zero no pot pertànyer a cap base). Després el vector zero d'este espai pot ser expressat com a combinació llineal de cap element, lo que novament és una suma buida.