Funció monòtona

En matemàtiques, una funció entre conjunts ordenats es diu monòtona (o isótona) si conserva l'orde donat. Les funcions de tal classe varen sorgir primer en càlcul, i varen anar després generalisades a l'entorn més abstracte de la teoria de l'orde. Encara que els conceptes generalment coincidixen, les dos disciplines han desenrollat una terminologia llaugerament diferent; mentres en càlcul es parla de funcions monòtonament creixents i monòtonament decreixents (o simplement creixents i decreixents), en la teoria de l'orde s'usen els térmens monòtona i antítona, o es parla de funcions que conserven i invertixen l'orde.

Definició general

Siga

$f:P\to Q$

una funció entre dos conjunts $P$ i $Q$, a on cada conjunt té un orde parcial (els dos es denotaran per ≤). En càlcul es parla de funcions entre subconjunts dels reals, i l'orde ≤ no és un atre que l'orde usual de la recta real, encara que açò no és essencial per a la definició.

La funció $f$ és monòtona si i solament si $x\le y$ implica $f(x)\le f(y)$ (és dir, la funció és creixent), o be $x\le y$ implica $f(x)\ge f(y)$ (és dir, la funció és decreixent). En atres paraules, una funció és monòtona si conserva l'orde.

És dir una funció és monòtona quan és creixent o decreixent en tot el seu domini.

Si ademés $x<y$ implica $f(x)<f(y)$, $f$ es diu estrictament creixent. De manera dual, si $x<y$ implica $f(x)>f(y)$, $f$ es diu estrictament decreixent. En abdós casos es diu que $f$ és estrictament monòtona.

En la categoria de conjunts parcialment ordenats $\mathbf{\text{𝐏𝐨𝐬}}$, les funcions monòtones constituïxen els (homo)morfismos de dita categoria.

Monotonia en càlcul i anàlisis

En càlcul no hi ha usualment necessitat d'invocar els métodos abstractes de la teoria de l'orde. Com ya es va senyalar, les funcions s'establixen entre (subconjunts de) número real, ordenats de forma natural.

Per la forma de la gràfica d'una funció monòtona en els reals, tals funcions es diuen també monòtonament creixents (o no decreixent), respectivament.

Eixemple gràfic

A continuació es mostren tres gràfiques de funcions qualssevol. La primera d'elles és una funció estrictament creixent per l'esquerra i per la dreta, mentres que és constant en el mig; per lo demés, és creixent puix conserva l'orde ascendent durant tot el recorregut de la funció, una atra forma d'interpretar este comportament és dir que la seua derivada primera (D') sempre és major o igual a zero (D' >= 0) o que mai pert el signe positiu dita derivada. La segona d'elles és estrictament decreixent per l'esquerra i per la dreta, ya que conserva l'orde descendent durant tot el recorregut de la funció, en este cas és similar que en anterior pero la derivada primera sempre és en este cas menor o igual a zero (D' =<0) i mai pert el seu signe negatiu. Lo monòton és la negació al canvi que també es diu en la gerga matemàtica o del tractament de senyes «no canvi». Nos estem referint a que en tota funció monòtona la derivada mai canvia el signe independentment com siga. Per a l'anàlisis matemàtic és important se sap que si es complix esta condició la funció no presenta màxims i mínims relatius.

L'última d'elles és una funció en un recorregut en parts a on la funció és creixent i parts a on és decreixent, la seua derivada canvia de signe (presenta màxims i mínims relatius punt d'inflexió).

Archiu:Monotonicity example1.png Funció monòtona creixent.

Archiu:Monotonicity example2.png Funció monòtona decreixent.

Archiu:Monotonicity example3.png Funció no monòtona.

Aplicacions i resultats bàsics

Monotonia, en matemàtiques, cada una de les següents propietats d'una funció f : R → R implica la següent:

• f és monòtona.
• f té un llímit per l'esquerra i per la dreta en qualsevol punt del seu domini de definició.
• f solament pot tindre discontinuïtats de bot.
• f solament pot tindre una cantitat enumerable de discontinuïtats.

Estes propietats són la raó per la que les funcions monòtones són útils en l'anàlisis matemàtic. Dos importants fets que es deduïxen de que una funció siga monòtona són: Si f és una funció monòtona definida en un interval I, llavors f és derivable casi sempre en I, és dir, el conjunt de punts x en I en a on f no és diferenciable té mida de Lebesgue 0. Si f és una funció monòtona definida en un interval [a, b], llavors f és Riemann-integrable.

Una important aplicació de les funcions monòtones és en provabilitat. Si X és una variable aleatòria, la seua funció de distribució

$F_X(x)=P(X\le x)$

és una funció creixent.

Monotonia d'una successió

Una successió

és monòtona si i solament si lo és com a aplicació entre conjunts ordenats.

Vore també

• Anàlisis matemàtic
• Funció matemàtica
• Teorema del valor intermig