Conjunt parcialment ordenat

En matemàtiques, especialment en teoria de l'orde, un conjunt parcialment ordenat (a voltes abreviat com cope) o simplement conjunt ordenat (o poset, del anglés partially ordered set) és un conjunt equipat en una relació binaria d'orde parcial, que formalisa el concepte intuïtiu d'orde, seqüència, o apany dels elements del conjunt. Tal orde no necessàriament deu ser total, és dir, no necessàriament deuen poder comparar-se tots els elements en tots els atres elements del conjunt, no obstant açò pot ocórrer en alguns casos (en atres paraules, l'orde total és un cas particular de l'orde parcial).

Definició formal

Plantilla:Relació binaria 101 Un orde parcial és una relació binaria R sobre un conjunt X que és reflexiva, antisimètrica, i transitiva, és dir, per a qualsevol a, b, i c en X es té que:

• aRa (reflexividad).
• Si aRb i bRa, llavors a = b (antisimetría).
• Si aRb i bRc, llavors aRc (transitividad).

Un conjunt en un orde parcial es denomina conjunt parcialment ordenat o poset. A voltes s'usa l'expressió conjunt ordenat per a un parcialment ordenat, sempre que quede clar que no es farà referència a atres classes d'orde. En particular, a un conjunt totalment ordenat també li'l crida ordenat a seques, en especial en camps a on estos són més comuns que els parcialment ordenats.

Usualment s'usa la notació de "≤" en lloc de "R" per a l'orde total, ya que este complix en la dicotomia.

Eixemples

Archiu:Hasse diagram of powerset of 3.svg

Conjunt dels subconjunts de {x,i,z}, ordenat per inclusió.

Alguns dels eixemples més coneguts són els següents:

• El conjunt dels naturals en la seua orde usual (la relació "menor o igual"). Este orde és ademés un orde total.
• El conjunt dels sancers en la seua orde usual. Este orde és també total.
• Un subconjunt finito {1, 2,..., n} dels naturals. Este orde és també total.
• El conjunt de naturals ordenat per la relació de divisibilidad.
• El conjunt de subconjunts d'un conjunt dau (i.i. el seu conjunt de parts) ordenat per inclusió.
• El conjunt de subespacios d'un espai vectorial, ordenat per inclusió.
• El conjunt de subespacios d'una topología, ordenat per inclusió.