Integral de Riemann

En la branca de les matemàtiques coneguda com anàlisis real, la integral de Riemann, creada per Bernhard Riemann en un artícul publicat en 1854, va ser la primera definició rigorosa de l'integral d'una funció en un interval. Per a moltes funcions i aplicacions pràctiques, l'integral de Riemann pot ser evaluada utilisant el teorema fonamental del càlcul o aproximada per mig d'integració numèrica.

L'integral de Riemann és inadequada per a molts propòsits teòrics. Algunes de les deficiències tècniques en l'integració de Riemann es poden remediar en l'integral de Riemann-Stieltjes, i la majoria desapareixen en l'integral de Lebesgue.

L'integral de Riemann d'una funció real de variable real es denota usualment de la següent forma:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

Si ben l'artícul en gran part es restringix a l'integració sobre intervals acotats de $[a,b]\subset {ℝ}^1$, el concepte pot generalisar-se a dominis acotats de ${ℝ}^n$ sense molta dificultat.

Marque general

Sean $f:[a,b]\to ℝ$ una funció no negativa i

$S=\{(x,y)\in ℝ:a\le x\le b,0\le y\le f(x)\}$

la regió en el pla baix la gràfica de la funció $f$ i per damunt de l'interval $[a,b]$. L'interés és medir l'àrea de $S$. Una volta medida, es denota l'àrea per

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

L'idea bàsica de l'integral de Riemann és utilisar aproximacions per a calcular l'àrea de $S$. Prenent millors aproximacions, és possible afirmar que en el llímit es tindrà exactament l'àrea de $S$ baix la curva.

Definició

És necessari definir quatre conceptes. L'últim és el d'interés. El primer és una partició d'un interval $[a,b]$. El segon la norma d'una partició. El tercer una suma de Riemann i l'últim que una funció acotada siga Riemann integrable en un interval $[a,b]$.

Partició d'un interval i la seua norma

Siga $[a,b]$ un interval tancat sobre els número real, una partició de $[a,b]$ és un subconjunt finit $P=\{x_0=a,x_1,\dots ,x_n=b\}$ tal que $x_i>x_{i-1}$, en $i=1,\dots ,n$. La norma de la partició és la llongitut de l'interval més gran:

$\Vert P\Vert =\max \{x_i-x_{i-1}:i=1,\mathrm{...},n\}$

Lo que s'està fent, en poques paraules, és tallar a l'interval en subintervalos disjuntos, l'unió del qual forma l'interval original. La norma és la llongitut de l'interval més gran.

Suma de Riemann

Siga $f:[a,b]\to ℝ$ una funció i es té una partició de l'interval $[a,b]$, denotada per $P=\{x_0=a,x_1,\dots ,x_n=b\}$, llavors es diu sumixca de Riemann a una suma de la forma:

$\sum _{k=1}^{n}f(t_k)(x_k-x_{k-1})$

en $x_{k-1}\le t_k\le x_k$.

De manera intuïtiva esta suma representa la suma d'àrees de rectànguls en base $x_k-x_{k-1}$ i altura $f(t_k)$. Es representa esta suma com $S(P,f)$. També s'utilisa la notació més extensa pero més explícita:

$S(P,f,{\left\{t_i\right\}}_{i=1}^n)$

Integrabilidad de Riemann

Una funció $f$ acotada definida en un interval $[a,b]$ es diu que és Riemann integrable en $[a,b]$ si existix un número $I$ en els reals tal que, per a tot número real positiu $\epsilon$ existix una $\delta$ positiva tal que si $P$ és una partició de $[a,b]$ en $\Vert P\Vert <\delta$ i $S(P,f)$ és qualsevol suma de Riemann llavors $|S(P,f)-I|<\epsilon$.

Usualment per a funcions conegudes que se sap integrables es pren una partició regular de l'interval i es prenen els $t_k$ com algun dels punts extrems de cada interval. Deu notar-se que si no se sap que la funció és integrable llavors no podria prendre's qualsevol punt de l'interval arbitrariament, és dir, no podria prendre els valors extrems. En este cas en que no se sap que és integrable, es tindria que revisar que per a qualsevol valor $t_k$ que es prenguera en cada interval $[x_{k-1},x_k]$ la suma de Riemann menys algun número real $I$ és menor en valor absolut que qualsevol $\epsilon$ que s'haguera pres. En cas de complir-se s'hauria demostrat que la funció f és integrable segons Riemann en $[a,b]$ i s'hauria calculat trobat el seu valor; en cas de no complir-se no s'hauria provat res en absolut. Quan es du al llímit esta partició, es pot demostrar que s'obté el valor de l'integral:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(a+k\frac{b-a}{n})$.

Esta última expressió és sobretot útil per a funcions que sabem que són integrables com, per eixemple, les contínues. És possible demostrar que tota funció que és contínua en un interval $[a,b]$, és integrable, en el cas del qual lo únic que restaria seria trobar el valor de l'integral. Per supost, si ya s'està familiarizado en el Segon Teorema Fonamental del Càlcul llavors basta trobar una funció $F(x)$ (denominada primitiva de $f(x)$) que la seua derivada nos tire la funció original $f(x)$ i llavors el valor de l'integral és $F(b)-F(a)$. No sempre és possible trobar una funció primitiva de la que s'està integrant. En eixos casos, es recorre a una expressió com l'anterior o a métodos d'aproximació.

Condició necessària i suficient per a la integrabilidad de Riemann

En este apartat es farà referència a funcions acotades en un interval tancat $[a,b]$ (igual que en els apartats anteriors).

Una funció no ha de ser contínua per a ser integrable de Riemann (no obstant esta és una condició suficient); de fet una funció contínua en tot l'interval llevat en un punt és integrable de Riemann, inclús una funció en un número numerable de discontinuïtats és integrable i en el cas extrem certes funcions en un número no numerable de discontinuïtats poden ser integrables. La següent teorema establix que una funció és integrable si i solament si el seu conjunt de discontinuïtats es pot recobrir per conjunts oberts tals que la suma dels seus esgambi pot fer-se arbitrariamente menuda.

Siga $f$ una funció definida i acotada en $[a,b]$ i siga $D$ el conjunt de les discontinuïtats de $f$ en $[a,b]$. Llavors $f\in R$ (en $R$ el conjunt de les funcions Riemann integrables) en $[a,b]$ si, i solament si, $D$ té mida zero.

D'esta manera, qualsevol funció contínua o en un conjunt numerable de discontinuïtats és integrable. Com a eixemple de funció en un conjunt no numerable de discontinuïtats i integrable tenim per eixemple:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }x\in C\\ 0,& \text{si }x\notin C\end{array}$

sent C el conjunt de Cantor.

Vore també

• Integral de Riemann-Stieltjes
• Integral de Lebesgue
• Integral de Itō (1945)

Referències

Bibliografia

• APOSTOL, Tom M. Anàlisis Matemàtic (Mathematical Analysis), trad., ed. Reverté S. A. 1976.
• APOSTOL, Tom M. Cálculus Volum 1 i 2(Calculus), trad., ed. Reverté S.A. 1984.

• BARTLE, Robert G. Introducció a l'Anàlisis Matemàtic (The Elements of Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 1982.
• BARTLE et al. Introducció a l'Anàlisis Matemàtic d'una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009.
• KURTZ et al.Theories of Integration The Integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil and McShane, ed. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2004.
• SPIVAK, Michael. Càlcul Infinitesimal(Calculus), trad., ed. Reverté S.A. 1992.