Conjunt obert

Archiu:Red blue circle.svg

Eixemple: La circumferència blava representa el conjunt de punts (x, i) que satisfan x² + i² = r². El disc roig representa el conjunt de punts (x, i) que satisfan x² + i² < r². El conjunt roig és un conjunt obert, el conjunt blau és el seu conjunt de llímits, i l'unió dels conjunts roig i blau és un conjunt tancat.

Un conjunt obert, en topología i atres branques de les matemàtiques, és un conjunt en el que cada u dels seus elements té un entorn que està inclós en el mateix conjunt; o, dit d'una manera més intuïtiva, que cap element de dit conjunt pertany també a la frontera d'est. En térmens rigorosos es diu que en qualsevol element del conjunt pot centrar-se una bola oberta que està totalment continguda en el conjunt. Es pot generalisar el concepte de ‘bola’ com els elements que estan molt prop d'un atre en qualsevol direcció, rodejant-ho, pero per a això és necessari definir una funció distancia que permeta evaluar la lluntea o rodalia entre els objectes del conjunt, constituint aixina un espai mètric —un conjunt més una definició de distància en ell—.

DEFINICIÓN: Siga $(X,d)$ un espai mètric. Es diu que $𝑼\subset 𝑿$ és un conjunt obert si para tot $x\in 𝑼$ existix una bola oberta $𝑩\mathit{(}𝒙,𝝐\mathit{)}\subset 𝑼$.

Com a eixemple típic es pot evaluar l'interval obert (0, 1) en els número real ($ℝ$), que es correspon en tots els números entre 0 i 1 pero sense incloure estos, és dir, tots els número real x en 0 < x < 1. Puix be, intuitivamente es diu que és un conjunt obert perque, per a qualsevol número x que pertany al conjunt, per molt que pretengam acostar-nos a la frontera del conjunt —0 i 1—, sempre hi ha més elements entre dit número x i la frontera. Per eixemple, si evaluem el punt 0.9, entre est i l'1 està el 0,99, per eixemple; de la mateixa manera que entre 0,99 i 1 està el 0,999; i aixina successivament. Sempre hi ha més números entre qualsevol element del conjunt i la frontera, i és per tant ‘obert’. No obstant, en el conjunt tancat [0, 1] entre l'element 1 i la frontera de l'interval —que també és 1— no existixen més elements, per lo que es deduïx que és en conjunt ‘tancat’.

O valorant l'explicació més rigorosa, l'espai mètric en el cas de l'interval (0, 1), denotat com ($ℝ$, d), és el constituït per:

• Els elements que pertanyen als número real ($ℝ$), açò és, des de $-\mathrm{\infty }$ a $\mathrm{\infty }$.
• La funció distancia que, usant la distància euclídea (d), es definix com el valor absolut de la resta $|b-a|$.

D'esta manera en tot número x del conjunt (0, 1) pot centrar-se una bola que està inclosa dins del conjunt; lloc que en la recta real una bola oberta centrada en un número x es correspon en un atre interval de la forma (x - ε, x + ε), a on epsilon és una cantitat molt menuda, tot lo que es vullga. Aixina, una bola centrada en 0,9 estarà dins del conjunt, aixina com en 0,99 o en 0,999999, puix sempre hi haurà un epsilon de separació entre el punt i la frontera. Pel contrari en el conjunt tancat [0, 1], una bola centrada en l'element 1 quedarà parcialment fora del conjunt.

Observe que el que un conjunt dau O siga obert depén de l'espai circumdant, el "quarto de jocs". Per eixemple, el conjunt dels número racional entre 0 i 1 (exclusiu) és obert en els número racional, pero no és obert en els número real. Observe també que "obert" no és el contrari de tancat. Primer, existixen conjunts que són abdós oberts i tancats, cridats conjunts clopen, com per eixemple el conjunt dels número racional més menuts que √2 en els número racional. Segon, hi ha conjunts que no són oberts ni tancats, com per eixemple (0, 1] en R.

Més generalment, un conjunt obert és un membre d'una colecció donada de subconjunts d'un conjunt dau, una colecció que té la propietat de contindre cada unió dels seus membres, cada intersecció finita dels seus membres, el conjunt buit, i el conjunt sancer mateix. Un conjunt en el que es dona tal colecció es diu espai topològic, i la colecció es diu topología. Estes condicions són molt laxas i permeten una enorme flexibilitat en l'elecció dels conjunts oberts. Per eixemple, cada subconjunt pot ser obert (la topología discreta), o cap subconjunt pot ser obert llevat el propi espai i el conjunt buit (la topología indiscreta).

En la pràctica, no obstant, els conjunts oberts solen elegir-se per a proporcionar una noció de proximitat similar a la dels espais mètrics, sense tindre definida una noció de distància. En particular, una topología permet definir propietats com continuïtat, conexió i compacidad, que originalment es definien per mig d'una distància.

El cas més comú d'una topología sense distància ve dau pels manifolds, que són espais topològics que, prop de cada punt, s'assemblen a un conjunt obert d'un espai euclídeo, pero sobre els que no es definix cap distància en general. Topología menys intuïtives s'utilisen en atres branques de les matemàtiques; per eixemple, la topología de Zariski, fonamental en geometria algebraica i teoria d'esquemes.

Motivació

Intuitivament, un conjunt obert proporciona un método per a distinguir dos punts. Per eixemple, si sobre un de dos punts d'un espai topològic, existix un conjunt obert que no conté a l'atre punt (distint), els dos punts es denominen topológicamente distinguibles. D'esta manera, es pot parlar de si dos punts, o més generalment dos subconjunts, d'un espai topològic estan "prop" sense definir concretament una distància. Per lo tant, els espais topològics poden vore's com una generalisació dels espais dotats d'una noció de distància, que es denominen espais mètrics.

En el conjunt de tots els número reals, es té la mètrica euclídea natural; és dir, una funció que medix la distància entre dos número real: d(x, i) = Plantilla:Mabs. Per lo tant, donat un número real x, es pot parlar del conjunt de tots els punts propencs a eixe número real; és dir, dins de ε de x. En essència, els punts dins de ε de x s'aproximen a x en una precisió de grau ε. Note's que ε > 0 sempre, pero a mida que ε es fa més i més menut, s'obtenen punts que s'aproximen a x en un grau de precisió cada volta major. Per eixemple, si x = 0 i ε = 1, els punts dins de ε de x són precisament els punts del interval (-1, 1); és dir, el conjunt de tots els número real entre -1 i 1. No obstant, en ε = 0,5, els punts dins de ε de x són precisament els punts de (-0,5, 0,5). Clarament, estos punts s'aproximen a x en un major grau de precisió que quan ε = 1.

La discussió anterior mostra, per al cas x = 0, que es pot aproximar x a graus de precisió cada volta majors definint ε cada volta més menut. En particular, els conjunts de la forma (-ε, ε) nos donen molta informació sobre els punts propencs a x = 0. Aixina, en lloc de parlar d'una mètrica euclidiana concreta, es poden utilisar conjunts per a descriure els punts propencs a x. Esta idea innovadora té conseqüències de gran alcanç; en particular, en definir diferents coleccions de conjunts que contenen 0 (distints dels conjunts (-ε, ε)), es poden trobar diferents resultats sobre la distància entre 0 i atres número real. Per eixemple, si definim R com l'únic conjunt d'este tipo per a "medir la distància", tots els punts estan prop de 0, ya que només hi ha un grau possible d'exactitut que es pot alcançar en l'aproximació a 0: ser un membre de R. Aixina, nos trobem en que, en cert sentit, tot número real està a una distància 0 de 0. En este cas, pot ajudar pensar que la mida és una condició binaria: totes les coses en R estan igualment prop de 0, mentres que qualsevol element que no estiga en R no està prop de 0.

En general, nos referim a la família de conjunts que contenen 0, utilisada per a aproximar 0, com una base de veïnat; un membre d'esta base de veïnat es denomina conjunt obert. De fet, un pot generalisar estes nocions a un conjunt arbitrari (X); en lloc de només els número real. En este cas, donat un punt (x) d'eixe conjunt, es pot definir una colecció de conjunts "entorn" (és dir, que continguen) x, utilisats per a aproximar x. Per supost, esta colecció tindria que satisfer certes propietats (conegudes com a axioma), ya que d'un atre modo no podríem dispondre d'un método ben definit per a medir la distància. Per eixemple, cada punt de X deuria aproximar-se a x en cert grau de precisió. Per tant, X deuria pertànyer a esta família. Una volta que escomencem a definir conjunts "més menuts" que contenen x, tendim a aproximar x en un major grau de precisió. Tenint açò en conte, es poden definir els axioma restants que la família de conjunts sobre x deu satisfer.

Definicions

El concepte de conjunt obert es pot formalisar en varis graus de generalitat, entre ells:

Geometria

Un subconjunt O pertanyent al conjunt $R^n$ es diu obert quan tots els punts P d'O són interiors.

Espai euclídeo

Un subconjunt O d'un espai euclídeo n-dimensional Iⁿ es diu obert si, donat qualsevol punt x en O, existix un número real ε > 0 tal que, donat qualsevol punt i en Iⁿ la distància del qual euclidiana de x siga més menuda que ε, i també pertany a O. De forma equivalent, O és obert si cada punt en O té un entorn contingut en O.

Intuitivament, la ε medix el tamany dels "meneos permesos".

Un eixemple d'un conjunt obert en I² (en un pla) seria tots els punts dins d'un círcul de ràdio r, que satisfan l'equació $r>\sqrt{x^2+y^2}$.

Perque la distància de qualsevol punt p en este conjunt a la vora del conjunt és major que zero: $r-\sqrt{x^2+y^2}>0$, podem fixar el ε a la mitat d'esta distància, que significa que el ε és també major de zero, i tots els punts que estan a una distància ε de p estiguen també en el conjunt, satisfent aixina les condicions per a un conjunt obert.

Espais mètrics

Un subconjunt O d'un espai mètric (M, d) es diu obert si, donat qualsevol punt x en O, existix un número real ε > 0 tals que, donat qualsevol punt i en M en d(x, i) < ε, i també pertany a O. (equivalent, O és obert si cada punt en O té una veïnat continguda en O)

Açò generalisa l'eixemple euclidiano de l'espai, ya que l'espai euclidiano en la distància euclidiana és un espai mètric.

Espais topològics

En espais topològics, el concepte d'obertura es pren com a fonamental. Un comença en un conjunt arbitrari X i una família de subconjunts de X que satisfan certes propietats que cada noció "raonable" d'obertura se supon tindre. (específicament: l'unió de conjunts oberts és oberta, l'intersecció finita de conjunts oberts és oberta, i en particular el conjunt buit i X mateixa són oberts.) Tal família T de subconjunts es diu una topología en X, i es diu als membres de la família els conjunts oberts de l'espai topològic (X, T).Un conjunt es diu tancat si el seu complement en X és obert.

Definició

Siga X un conjunt no buit i T una família de subconjunts de X. T és una topología en X si complix els següents axioma.

• X i el conjunt buit {} estan en T.
• L'intersecció d'un número finito de membres de T està en T.
• L'unió de qualsevol número d'elements de T està en T.

En estes precisió, al parell (X,T) es denomina espai topològic i als membres de T li'ls nomena oberts en l'espai topològic (X,T). Vore el llibre Topología d'un conjunt d'autors de la Facultat de Ciències de l'Universitat Complutense.

Açò generalisa la definició mètrica de l'espai: si es comença en un espai mètric i definix conjunts oberts com abans, llavors la família de tots els conjunts oberts formarà una topología en l'espai mètric. Cada espai mètric és per lo tant d'una manera natural un espai topològic. (Hi ha no obstant espais topològics que no són espais mètrics).

Tipos especials de conjunts oberts

Conjunts oberts i conjunts no oberts i/o no tancats

Un conjunt pot ser obert, tancat, abdós o cap. En particular, els conjunts oberts i tancats no són mútuament excloents, lo que significa que en general és possible que un subconjunt d'un espai topològic siga simultàneament un subconjunt obert i un subconjunt tancat. Tals subconjunts es coneixen com Conjunt clopens. Explícitament, un subconjunt $S$ d'un espai topològic $(X,\tau )$ es diu «clopen» si tant $S$ com el seu complement $X\setminus S$ són subconjunts oberts de $(X,\tau )$; o equivalentement, si $S\in \tau$ i $X\setminus S\in \tau .$

En qualsevol espai topològic $(X,\tau ),$ el conjunt buit $\varnothing$ i el propi conjunt $X$ són sempre tancats. Estos dos conjunts són els eixemples més coneguts de subconjunts tancats i demostren que existixen subconjunts tancats en tots els espais topològics. Per a vore per qué $X$ és tancat, escomencem recordant que els conjunts $X$ i$\varnothing$> són, per definició, subconjunts sempre oberts (de $X$). També per definició, un subconjunt $S$ es diu tancat si (i només si) el seu complement en $X,$ que és el conjunt $X\setminus S,$ és un subconjunt obert. Ya que el complement (en $X$) del conjunt $S:=X$ és el conjunt buit (i.i. $X\setminus S=\varnothing$), que és un subconjunt obert, açò significa que $S=X$ és un subconjunt tancat de $X$ (per definició de "subconjunt tancat"). Per tant, no importa qué topología es pose en $X,$ tot l'espai $X$ és simultàneament un subconjunt obert i també un subconjunt tancat de $X$; dit d'un atre modo, $X$ és sempre un subconjunt tancat de $X.$ Ya que el complement del conjunt buit és $X\setminus \varnothing =X,$ que és un subconjunt obert, es pot utilisar el mateix raonament per a concloure que $S:=\varnothing$ també és un subconjunt tancat de $X.$

Considerem la recta real $ℝ$ dotada del seu habitual topología euclídea, els conjunts oberts de la qual es definixen com seguix: tot interval $(a,b)$ d'número real pertany a la topología, tota unió de tals intervals, i. g. $(a,b)\cup (c,d),$ pertany a la topología, i com sempre, tant $ℝ$ com $S:=\varnothing$ pertanyen a la topología.

• L'interval $I=(0,1)$ és obert en $ℝ$ perque pertany a la topología euclídea. Si $I$ tinguera un complement obert, significaria per definició que $I$ fora tancat. Pero $I$ no té complement obert; el seu complement és $R\setminus I=(-\mathrm{\infty },0]\cup [1,\mathrm{\infty }),$ que no pertany a la topología euclídea ya que no és una unió d'intervals oberts de la forma $(a,b).$ Per tant, $I$ és un eixemple de conjunt obert pero no tancat.
• Per un argument similar, l'interval $J=[0,1]$ és un subconjunt tancat pero no obert.
• Finalment, com ni $K=[0,1)$ ni el seu complement $R\setminus K=(-\mathrm{\infty },0)\cup [1,\mathrm{\infty })$ pertanyen a la topología euclídea (perque no es poden escriure com a unió d'intervals de la forma $(a,b)$), açò significa que $K$ no és ni obert ni tancat.

Propietats

En un espai mètric o topològic X, el conjunt buit i X són oberts i tancats al mateix temps. Si l'espai és conexo, estos dos són els únics conjunts tancats i oberts al mateix temps. L'unió de qualsevol número de conjunts oberts és oberta. L'intersecció d'un número finito de conjunts oberts és oberta.

Aplicacions

Cada subconjunt A d'un espai topològic X conté a un (tal volta buit) conjunt obert; el més gran de tals conjunts oberts es diu l'interior de A. Pot ser construït prenent l'unió de tots els conjunts oberts continguts en A.

Donats espais topològics X i I, una funció f de X a I és funció contínua si la preimagen de cada conjunt obert en I és obert en X. La funció f es diu funció oberta si l'image de cada conjunt obert en X és oberta en I.

Un conjunt obert en la recta real, segons la topología usual, es caracterisa per la propietat de ser una unió contable d'intervals oberts disjuntos.

Varietats

Una varietat es diu oberta si és una varietat sense vora i si no és compacta. Esta noció es diferencia una miqueta de l'obertura discutida més dalt.

Bibliografia

• Mansfield, M.J.(1974) Indroducción a la Topología, Editorial Alhambra, Madrit.

• Chinn,W.G.; Steenrod,N.E. (1975) Primers conceptes d'Topología), Editorial Alhambra, Madrit.

García Marrero et all.(1975) Topología, Editorial Alhambra, Madrit.

• Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology, Elsevier/North-Holland. OCLC 162131277. ISBN 0-444-50355-2.
• (2004) Encyclopedia of general topology, Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.

Vore també

• Conjunt
• Conjunt tancat
• Teoria de conjunts

Enllaços externs

• Plantilla:Springer