Conjunt clopen

En topología, un conjunt clopen —del anglés closed-open set, lliteralment 'conjunt tancat-obert' o 'conjunt cerrabierto'—, en un espai topològic és un conjunt que és al mateix temps obert i tancat.

Eixemples

En qualsevol espai topològic X, el conjunt buit i tot l'espai X són abdós clopen.

Ara considere l'espai X que consistix en l'unió dels dos intervals (0, 1) i (2, 3). La topología en X s'hereta com la topología del subespacio de la topología ordinària en la recta real R. En X, el conjunt (0, 1) és clopen, de la mateixa manera que el conjunt (2, 3). Açò és un eixemple absolutament típic: sempre que un espai es componga d'un número finit de components conexos disjuntos d'esta manera, els components seran clopen.

Com a eixemple menys trivial, considere's l'espai Q de tots els número racional en la seua topología usual, i el conjunt A de tots els número racional més grans que la raïl quadrada de 2. Usar el fet de que √2 no està en Q, es pot demostrar fàcilment que A és un subconjunt clopen de Q. (note's també que A no és un subconjunt clopen de la recta real R; no és ni obert ni tancat en R.)

Fets

• Un espai topològic X és conexo si i només si els únics conjunts clopen són el conjunt buit i X.

• Qualsevol conjunt clopen és una unió de components conexos (possiblement un número infinit d'ells).

• Si tots els components conexos de X són oberts (que siga per eixemple el cas si X té solament finitos components, o si X és localment conexo), llavors un conjunt és clopen en X si i solament si és una unió de components conexos.

• Un espai topològic X és discret si i solament si cada u dels seus subconjunts és clopen.

• Usant l'unió i l'intersecció com a operacions, els subconjunts clopen d'un espai topològic dau X forma un àlgebra de Boole. Notablement, cada àlgebra de Boole es pot obtindre d'esta manera d'un espai topològic convenient: vore el teorema de representació de Stone per a les àlgebra booleanas.