Funcions obertes i tancades

En topología, una funció oberta és una funció entre dos espais topològics quan l'image d'un conjunt obert és un conjunt obert. És dir, una funció f: X → I és oberta si per a qualsevol conjunt obert O en X, l'image f(O) és oberta en I. Aixina mateix, una funció tancada complix que l'image d'un conjunt tancat és un conjunt tancat.

Observe's que ni les funcions obertes ni les tancades requerixen ser contínues. Encara que les seues definicions semblen naturals, les funcions obertes i tancades són molt manco importants que les funcions contínues. Una funció f: X → I és contínua si la preimagen de qualsevol conjunt obert de I és obert en X, és dir: si la pre image de cada conjunt tancat de I és tancat en X. Deurà complir que és biunívoca, contínua i tancada.Reben esta denominació les formes que es mostren continuïtat de contorns en el seu perímetro

Eixemples

Cada homeomorfisme és obert, tancat, i continu. De fet, una funció contínua biyectiva és un homeomorfisme si és oberta, o equivalentement, si és tancada.

Sempre que tingam un producte d'espais topològics X = ΠX_i, llavors les proyeccions naturals p_i: X → X_i són obertes (aixina com contínues). ya que les proyeccions dels fibrados i cubrimientos són localment proyeccions naturals dels productes, estos són també funcions obertes (note's que les proyeccions del producte no necessiten ser tancades, considere's per eixemple la proyecció p₁: R ² → R en el primer component; A = {(x,1/x): x ≠ 0} és tancat en R², pero p₁(A) = R -{0} que no és tancat).

A cada punt de la circumferència unitat podem associar l'àngul que forma l'eix X positiu en el radi que unix dit punt en l'orige. Esta funció de la circumferència unitat al interval semiabierto [0, 2π) és biyectiva, oberta, i tancada, pero no contínua. Açò mostra que l'image d'un espai compacte baixe una funció oberta o tancada no necessita ser compacta. També observe's que si considerem açò com a funció de la circumferència unitat als número real, llavors no és ni obert ni tancat. Especificar el codominio és essencial.

La funció f: R → R en f(x) = x² és contínua i tancada, pero no oberta.

La funció partix sancera de R a Z és oberta i tancada (perque Z té la topología discreta). Este eixemple mostra que l'image d'un espai conexo baixe una funció oberta o tancada no necessita ser conexa.

Fets i teoremes

Una funció f: X → I és oberta si

per a cada x en X i per a cada veïnat o entorn O de x (per chicoteta que siga), existix un veïnat V de f(x) tal que V ⊂ f(O).

Una funció f: X → I és tancada sii

sempre que (x_α) siga una ret en X tal que (f (x_α)) té llímit i, llavors (x_α) té una sub ret que convergixca cap a una preimagen de i.

La composició de dos funcions obertes és a la seua volta oberta; la composició de dos funcions tancades és tancada a la seua volta.

Un funció biyectiva és oberta si i solament si és tancada. L'inversa d'una funció contínua biyectiva és una funció biyectiva oberta/tancada (i viceversa).

Siga f: X → I una funció contínua que siga oberta o tancada. Llavors

• si f és una sobreyección, llavors és una funció cocient,

• si f és una injecció, llavors és una immersió topològica, i

• si f és una biyección, llavors és un homeomorfisme.

En els primers dos casos, el ser obert o tancat és simplement una condició suficient per a que el resultat se seguixca. En el tercer cas és necessari també.

Un resultat molt útil sobre les funcions tancades és el lema de la funció tancada: cada funció contínua f: X → I des d'un espai compacte X a un espai de Hausdorff I és tancada. Una variant d'este resultat establix que si una funció contínua entre espais localment compactes de Hausdorff és pròpia (és dir les preimágenes de conjunts compactes són compactes), llavors també és tancada.

En anàlisis funcional, el teorema de la funció oberta establix que cada operador llineal continu sobreyectivo entre espais de Banach és una funció oberta.

En anàlisis complex, el, idénticamente nomenat, teorema de la funció oberta establix que cada funció holomorfa no-constant definida en un subconjunt obert conexo del pla complex és una funció oberta.

El teorema de la invariancia del domini establix que una funció contínua i localment inyectiva entre dos varietats topològiques n-dimensionals deuen ser oberta.