Homeomorfisme

Eixemple clàssic de dos figures **homeomorfas**: una tassa i un bou o dónut.

En topología, un homeomorfisme (del grec ὅμοιος (homoios) = ‘mateixa’ i μορφή (morphē) = ‘forma’) és una funció d'un espai topològic a un atre, que satisfà tres condicions: és biyectiva, és contínua i la seua inversa també és contínua. En tal cas es diu que els dos espais, el de partida i el d'arribada, són homeomorfos. Quan dos espais topològics són homeomorfos, els conjunts oberts d'abdós espais estan en correspondència biyectiva, per lo que l'estructura topològica d'abdós és idèntica. Les propietats que es conserven baix homeomorfismes, que per tant són intrínseques de dita estructura, es denominen propietats topològiques o invariantes topològics.^[1]

De modo intuïtiu, dos espais són homeomorfos quan un d'ells pot «deformar-se sense trencar-se» fins a obtindre l'atre. Per eixemple, Un gaveta i una esfera són sòlits homeomorfos. A diferència de la geometria euclidiana, que estudia les propietats dels espais que són invariantes baix moviments rígits, la forma o les distàncies no són rellevants des del punt de vista de la topología.^[2] En canvi, la topología estudia la relació de veïnat entre uns punts i uns atres: qüestions com la separació, la conectivitat o la compacidad, entre moltes atres. No obstant, no totes les transformacions contínues preserven estes propietats; per eixemple, un segment de recta es pot deformar contínuament fins a un únic punt, pero dita transformació no és invertible i per tant no és un homeomorfisme.^[3]

En la categoria d'espais topològics, els morfismos són les funcions contínues i els isomorfismes són els homeomorfismes. L'inversa d'un homeomorfisme i la composició de dos homeomorfismes són a la seua volta homeomorfismes. En conseqüència, el conjunt de tots els homeomorfismes $h : X \to X$ d'un espai topològic en sí mateixa formen un grup cridat grup d'homeomorfismes de $X$ , que es denota com $H o m e o (X)$ .

Definició

La definició d'homeomorfisme és la següent:

Si $f : X \to Y$ és un homeomorfisme, llavors es diu que $X$ és homeomorfo a $Y$ . Una conseqüència immediata de la definició és que l'inversa $f^{- 1} : Y \to X$ és també un homeomorfisme; per tant $Y$ també és homeomorfo a $X$ . D'ahí que es diga simplement que $X$ i $Y$ són espais homeomorfos entre sí. Tot espai topològic és homeomorfo a sí mateixa (la funció identitat és un homeomorfisme). Ademés, la composició de dos homeomorfismes és a la seua volta un homeomorfisme. Per tant, la relació entre espais topològics donada per «ser homeomorfos» és una relació d'equivalència. A les classes d'equivalència baixe esta relació se'ls denomina classes d'homeomorfisme.

Una funció $f : X \to Y$ és contínua si para tot conjunt obert de $Y$ , el seu preimagen baix $f$ és un obert de $X$ . Si ademés $f$ és un homeomorfisme, llavors també les imàgens dels oberts de $X$ són oberts en $Y$ (és dir, $f$ és una funció oberta). En conseqüència, $f$ fa correspondre biyectivamente cada conjunt obert de $X$ en un obert de $Y$ . L'estructura topològica d'un espai consistix precisament en la seua colecció de conjunts oberts. Per tant, tots els espais d'una mateixa classe d'homeomorfisme tenen exactament les mateixes propietats topològiques, és dir, des del punt de vista de la topología són tots iguals.

Eixemples

Qualsevol curva tancada simple (sense autointersecciones) en l'espai és homeomorfa a una circumferència ( $𝕊^{1}$ ).
Una esfera n-dimensional a la que se li ha llevat un punt, $𝕊^{n} ∖ {p}$ , és homeomorfa al espai euclídeo $ℝ^{n}$ . Un possible homeomorfisme és la proyecció estereográfica.
Dos superfícies tipo «tassa de café en torra» i un «bou» (o «dónut») són homeomorfos.

Caracterisació d'homeomorfismes

Depenent del context, es pot determinar si una funció és un homeomorfisme si satisfà algunes condicions, que són equivalents a la definició donada més arriba (o segons el cas, si dos espais són homeomorfos):

Una funció biyectiva i contínua és un homeomorfisme si i solament si és oberta (o equivalentement, si i solament si és tancada).
Dos espais dotats de la topología discreta són homeomorfos si i solament si tenen la mateixa cardinalidad.
Si X és un espai compacte i I és un espai de Hausdorff, llavors $f : X \to Y$ és un homeomorfisme si i solament si és f és una biyección contínua. Açò és, no és necessari verificar que l'inversa de f siga contínua.^[4]
Dos superfícies tancades orientables (respectivament, no orientables) són homeomorfas si i solament si tenen el mateix gènero (teorema de classificació de superfícies tancades).^[5]
Dos espais euclídeos són homeomorfos si i solament si tenen la mateixa dimensió.

Conceptes relacionats

Homeomorfisme local

AP

Un homeomorfisme local és una funció $f : X \to Y$ entre espais topològics en la que para cada punt de $X$ existix un entorn obert $U$ tal que la restricció de $f$ a $U$ és un homeomorfisme. Els homeomorfismes locals respecten l'estructura topològica localment, és dir, en el veïnat de cada punt de l'espai, pero no necessàriament per a l'espai globalment.

Tot homeomorfisme és un homeomorfisme local, pero el recíproc no és cert. Per eixemple, la funció $f : ℝ \to S^{1}$ donada per $f (x) = e^{i x}$ és un homeomorfisme local entre la recta real i la circumferència unitat (com a subconjunt del pla complex). En cada interval obert de llongitut inferior a $2 π$ , dita funció es comporta com un homeomorfisme, pero $ℝ$ no és homeomorfo a $S^{1}$ . En general les aplicacions recubridoras, com la de l'eixemple, són homeomorfismes locals.^[6]

Difeomorfismo

AP Un difeomorfismo és un homeomorfisme diferenciable entre varietats diferenciables que la seua inversa també és diferenciable; és dir, és un isomorfisme entre varietats diferenciables. Tot difeomorfismo és un homeomorfisme, pero no al contrari: per eixemple, un disc i un quadrat són homeomorfos, pero no difeomorfos.

Els canvis de coordenades constituïxen un cas particular de difeomorfismo.

En física els difeomorfismos són àmpliament usats:

En mecànica hamiltoniana el fluix associat a l'evolució temporal d'un sistema mecànic és un difeomorfismo. També qualsevol transformació canònica és un difeomorfismo.

En mecànica de mijos continus la deformació és un difeomorfismo des d'una configuració inicial a la configuració final. El conjunt de tots estos difeomorfismos forma un grup de Lie de dimensió infinita.

En Relativitat general l'evolució de l'espai-temps ve donada per un grup uniparamétrico de difeomorfismos. El grup de norma de la relativitat general és el grup de difeomorfismos que ademés són isometría.

Vore també

Referències

Notes

↑ (Munkres, 2002, pp. 119-120)
↑ (Henle, 1979, pp. 1-3)
↑ (Henle, 1979, p. 19)
↑ (Munkres, 2002, Teorema 26.6)
↑ (Henle, 1979, §21 The Classification Theorem)
↑ (Munkres, 2002, pp. 383-384)

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Homeomorfismo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (Munkres, 2002, pp. 119-120)

[2] (Henle, 1979, pp. 1-3)

[3] (Henle, 1979, p. 19)

[4] (Munkres, 2002, Teorema 26.6)

[5] (Henle, 1979, §21 The Classification Theorem)

[6] (Munkres, 2002, pp. 383-384)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]