Genus (matemàtiques)
En matemàtiques, la paraula llatina genus (plural genera; "gènero" en espanyol) té alguns significats diferents, pero estretament relacionats entre sí. La forma més ràpida, fàcil i intuïtiva d'introduir el concepte de genus és el número de "orificis" d'una superfície.[1] Per eixemple, una esfera té genus 0 i un bou té genus 1.
Topología
[editar | editar còdic]Superfícies orientables
[editar | editar còdic]
El genus (o gènero) d'una superfície orientable conexa és un número entero que representa el número màxim de corts que generen curves simples tancades que no es creuen a sí mateixes sense fer que la varietat resultant siga inconexa.[2] És igual al número de torres que presenta. Alternativament, es pot definir en térmens de la característica de Euler χ, a través de la relació χ = 2 − 2g per a superfícies tancades, a on g és el genus. Per a superfícies en b fronteres components, l'equació assegura que χ = 2 − 2g − b. En térmens senzills, és la cantitat de "orificis" que té un objecte ("orificis" interpretats en el sentit de forats d'una rosquilla; es consideraria d'esta manera que una esfera hueca té zero forats). Una rosquilla, o bou, té 1 d'estos orificis, mentres que una esfera té 0. La superfície verda que es mostra dalt té 2 orificis del tipo corresponent.
Per eixemple:
- Una esfera S2 com un disc tenen genus zero.
- Un bou té genus un, de la mateixa manera que la superfície d'una tassa de café en un torra. Esta és l'orige del succeït "els topólogos són persones que no poden distinguir la seua rosquilla de la seua tassa de café".
En l'artícul sobre el polígon fonamental es dona una construcció explícita de superfícies de genus g.
- Genus de superfícies orientables
-
Genus 0 -
Genus 1 -
Genus 2 -
Genus 3
En térmens més simples, el valor del genus d'una superfície orientable és igual al número de "forats" que té.[3]
Superfícies no orientables
[editar | editar còdic]El genus no orientable, demigenus o genus de Euler d'una superfície tancada no orientable conexa és un número entero positiu que representa el número de bandes de Möbius adjuntes a un esfera. Alternativament, es pot definir per a una superfície tancada en térmens de la característica de Euler χ, a través de la relació χ = 2 − k, a on k és el genus no orientable.
Per eixemple:
- Un pla proyectivo real té genus no orientable 1.
- Una botella de Klein té genus no orientable 2.
Nucs
[editar | editar còdic]El genus d'un nuc K es definix com el genus mínim de totes les superfícies de Seifert de K.[4] Una superfície de Seifert d'un nuc és, no obstant, un varietat, sent el llímit el nuc, és dir, és homeomorfa al círcul unitari. El genus de tal superfície es definix com el genus de la doble varietat, que s'obté pegant el disc unitari en el llímit.
Gaveta en torres
[editar | editar còdic]El genus d'un gaveta en torres tridimensional és un número entero que representa el número màxim de corts a lo llarc de discs embebidos en ell que es poden realisar sense desconectar la varietat resultant. És igual al seu número de torres.
Per eixemple:
- Una bola té genus 0.
- Un bou sòlit D2 × S1 té genus 1.
Teoria de grafos
[editar | editar còdic]- Artícul principal → Embebido de grafos.
El genus d'un grafo és el sancer mínim n tal que el gràfic es pot dibuixar sense creuar-se en una esfera en n torres (és dir, una superfície orientada de gènero n). Per lo tant, un grafo pla té gènero 0, perque es pot dibuixar en una esfera sense autocruzamiento.
El genus no orientable d'un grafo és el sancer mínim n tal que el gràfic es pot dibuixar sense creuar-se en una esfera en n tapes creuades (és dir, una superfície no orientable de genus (no orientable) n. Este número també es diu demigenus).
El genus de Euler és el mínim sancer n tal que la gràfica es pot dibuixar sense creuar-se sobre una esfera en n tapes creuades o sobre una esfera en n/2 torres.[5]
En teoria de grafos topològica hi ha vàries definicions del genus d'un grup. Arthur T. White va introduir el següent concepte: el genus d'un grup G és el gènero mínim d'un grafo de Cayley (conexo, no orientat) per a G.
El problema del genus de grafos és NP-complet.[6]
Geometria algebraica
[editar | editar còdic]Hi ha dos definicions relacionades de genus de qualsevol esquema algebraic proyectivo X: el genus aritmètic i el genus geomètric.[7] Quan X és una curva algebraica definida sobre el cos dels número complejo, i si X no té punts singulars, llavors estes definicions concorden i coincidixen en la definició topològica aplicada a la superfície de Riemann de X (la seua varietat de punts complexos). Per eixemple, la definició de curva elíptica en geometria algebraica és curva proyectiva no singular conexa de genus 1 en un punt racional donat en ella.
Pel teorema de Riemann–Roch, una curva plana irreducible de grau donada pel lloc geomètric de fuga d'una secció té genus geomètric
a on s és el número de singularitats quan es conten pròpiament.
Vore també
[editar | editar còdic]Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Popescu-Pampu, 2016, Introduction.
- ↑ Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
- ↑ Weisstein, E.W.. «Genus».
- ↑ (2004).«The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots».American Mathematical Society.
- ↑ Graphs on surfaces.
- ↑ “The graph genus problem is NP-complete” (1989). Journal of Algorithms 10 (4): 568–576. doi:. ISSN 0196-6774.
- ↑ Hirzebruch, Friedrich (1995). Topological methods in algebraic geometry, Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel, Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd (1ª Ed. 1978) edició, Berlin: Springer Science+Business Mija. ISBN 978-3-540-58663-0.
Bibliografia
[editar | editar còdic]- Popescu-Pampu, Patrick (2016). What is the Genus?, Springer Science+Business Mija. ISBN 978-3-319-42312-8.
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Genus (matemáticas)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.