Punt racional

En teoria de números i geometria algebraica, un punt racional d'una varietat algebraica és un punt les coordenades del qual pertanyen a un cos determinat. Si no es menciona el cos, generalment s'entén el cos dels número racional. Si es tracta del cos dels número real, un punt racional es denomina més comunament punt real.

Comprendre els punts racionals és un objectiu central de la teoria de números i de la geometria diofántica. Per eixemple, l'última teorema de Fermat es pot reformular com: per a $n > 2$ , la curva de Fermat de l'equació $x^{n} + y^{n} = 1$ no té atres punts racionals que $(1, 0)$ , $(0, 1)$ i, si $n$ és parell, llavors eixos punts són $(-1, 0)$ i $(0, -1)$ .

Definició

Donat un cos $k$ , i un cos algebraicamente tancat $K$ de $k$ , una varietat afí $X$ sobre $k$ és el conjunt de zeros comuns en $K Plantilla:Sup$ d'una colecció de polinomis en coeficients en $k$ :

\begin{matrix} f_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0, \\ ⋮ \\ f_{r} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 0. \end{matrix}

Estos zeros comuns es denominen punts de $X$ .

Un $k$ -punt racional (o $k$ -punt) de $X$ és un punt de $X$ que pertany a $k Plantilla:Sup$ , és dir, una seqüència $(a_{1}, \dots, a_{n})$ de $n$ elements de $k$ tals que $f_{j} (a_{1}, \dots, a_{n}) = 0$ para tot $j$ . El conjunt de punts racionals $k$ de $X$ a sovint es denota com $X (k)$ .

A voltes, quan es sobrentiende el cos $k$ , o quan $k$ és el cos $Q$ dels número racional, es parla de "punts racionals" en lloc de " $k$ -punts racionals".

Per eixemple, els punts racionals de la circumferència goniométrica de l'equació

x^{2} + y^{2} = 1

són els parells d'número racional

(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}),

a on $(a, b, c)$ és una terna pitagórico.

El concepte també té sentit en entorns més generals. Una varietat proyectiva $X$ en un espai proyectivo $mathbb P^n$ sobre un cos $k$ es pot definir per mig d'una colecció d'equacions de polinomis homogéneus en les variables $x_{0}, \dots, x_{n} .$ Un punt $k$ de $mathbb P^n,$ escrit $[a_{0}, \dots, a_{n}],$ ve dau per una successió d'elements $n + 1$ de $k$ , no tots zeros, en l'entés de que multiplicar tot $a_{0}, \dots, a_{n}$ pel mateix element distint de zero de $k$ dona el mateix punt en l'espai proyectivo. Llavors, un punt $k$ de $X$ és també un punt $k$ de $mathbb P^n$ en el que els polinomis donats s'anulen.

De manera més general, siga $X$ un esquema sobre un cos $k$ . Açò significa que es genera un morfismo d'esquemes $f : X \to Espec (k)$ . Llavors, un $k$ punt de $X$ significa una secció d'este morfismo, és dir, un morfismo $a : Espec(k) \to X$ tal que la composició $fa$ és l'identitat en $Spec(k)$ . Açò concorda en les definicions anteriors quan $X$ és una varietat afí o proyectiva (vista com un esquema sobre $k$ ).

Quan $X$ és una varietat sobre un cos algebraicamente tancat $k$ , gran part de l'estructura de $X$ està determinada pel seu conjunt $X (k)$ de punts racionals $k$ . No obstant, per a un cos general $k$ , $X (k)$ proporciona solament informació parcial sobre $X$ . En particular, per a una varietat $X$ sobre un cos $k$ i qualsevol extensió de cossos $I$ de $k$ , $X$ també determina el conjunt $X (I)$ de $I$ -punts racionals de $X$ , és dir, el conjunt de solucions de les equacions que definixen $X$ en valors en $I$ .

Eixemple: Siga $X$ la curva cònica $x^{2} + y^{2} = - 1$ en el pla afí $A Plantilla:Sup$ sobre els número real $R.$ Llavors, el conjunt de punts reals $X(R)$ està buit, perque el quadrat de qualsevol número real no és negatiu. Per un atre costat, en la terminologia de la geometria algebraica, la varietat algebraica $X$ sobre $R$ no està buida, perque el conjunt de punts complexos $X(C)$ no està buit.

De manera més general, per a un esquema $X$ sobre l'anell conmutativo $R$ i qualsevol $R$ -àlgebra conmutativa $S$ , el conjunt $X (S)$ de punts $S$ de $X$ significa el conjunt de morfismos $Espec(S) \to X$ sobre $Spec(R)$ . L'esquema $X$ està determinat fins a l'isomorfisme pel funtor $S \mapsto X (S)$ ; esta és la filosofia d'identificar un esquema en el seu funtor de punts. Una atra formulació és que l'esquema $X$ sobre $R$ determina un esquema $X S$ sobre $S$ per canvie de base, i els punts $S$ de $X$ (sobre $R$ ) poden identificar-se en els punts $S$ de $X S$ (sobre $S$ ).

La teoria d'equacions diofánticas tradicionalment significava l'estudi de punts sancers, és dir, solucions d'equacions polinomiales en els número entero $Z$ en lloc dels racionals $Q.$ Per a equacions polinòmiques homogénees com $x^{3} + y^{3} = z^{3},$ , els dos problemes són essencialment equivalents, ya que cada punt racional es pot escalar per a convertir-se en un punt sancer.

Punts racionals en curves

Gran part de la teoria de números pot vore's com l'estudi de punts racionals de varietats algebraiques, sent un escenari convenient les varietats proyectivas suaus. Para curves proyectivas suaus, el comportament dels punts racionals depén en gran mida del gènero de la curva.

Gènero 0

Cada curva proyectiva suau $X$ de gènero zero sobre un cos $k$ és isomorfa a una curva cònica (de grau 2) en $mathbb P^2.$ Si $X$ té un punt racional $k$ , llavors és isomorfa a $mathbb P^1$ sobre $k$ , per lo que els seus punts racionals $k$ són completament sobreentendidos.^[1] Si $k$ és el cos $Q$ dels número racional (o més generalment, un cos d'número algebraico), existix un algoritme per a determinar si una cònica donada té un punt racional, basant-se en el principi de Hasse: una cònica sobre $Q$ té un punt racional si i solament si té un punt sobre totes les terminacions de $Q,$ , és dir, sobre $R$ i tots els cossos p-ádicos $Q_p.$

Gènero 1

És més difícil determinar si una curva de gènero 1 té un punt racional. El principi de Hasse falla en este cas: per eixemple, segons Ernst Selmer, la curva cúbica $3 x^{3} + 4 y^{3} + 5 z^{3} = 0$ en $mathbb P^2$ té un punt sobre totes les terminacions de $Q,$ pero cap punt racional.^[2] El fallo del principi de Hasse per a curves de gènero 1 es medix per mig del grup de Tate-Shafarevich.

Si $X$ és una curva de gènero 1 en un punt racional $k$ $p 0$ , llavors $X$ es diu curva elíptica sobre $k$ . En este cas, $X$ té l'estructura d'un grup algebraic conmutativo (en $p 0$ com a element zero), per lo que el conjunt $X (k)$ de punts racionals $k$ és un grup abeliano. El teorema de Mordell-Weil diu que per a una curva elíptica (o, més generalment, una varietat abeliana) $X$ sobre un cos numèric $k$ , el grup abeliano $X (k)$ està finitamente generat. Els programes d'àlgebra informàtica poden determinar el grup $X (k)$ de Mordell-Weil en molts eixemples, pero no se sap si existix un algoritme que sempre tinga èxit en calcular este grup. Això se seguiria de la conjectura de que el grup Tate-Shafarevich és finito, o de la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer (també relacionada en el tema).^[3]

Gènero a lo manco 2

El teorema de Faltings (anteriorment la conjectura de Mordell) diu que per a qualsevol curva $X$ de gènero a lo manco 2 sobre un cos numèric $k$ , el conjunt $X (k)$ és finito.^[4]

Alguns dels grans guanys de la teoria de números equivalen a determinar els punts racionals en curves particulars. Per eixemple, l'última teorema de Fermat (provat per Richard Taylor i Andrew Wiles) és equivalent a l'afirmació de que per a un número entero $n$ a lo manco 3, els únics punts racionals de la curva $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ en $mathbb P^2$ sobre $Q$ són els obvis: $[0,1,1]$ i $[1,0,1]$ ; $[0,1,-1]$ i $[1,0,-1]$ para $n$ inclús; i $[1,-1,0]$ para $n$ impar. La curva $X$ (com qualsevol curva suau de grau $n$ en $mathbb P^2$ ) té gènero $\frac{(n - 1) (n - 2)}{2} .$

No se sap si existix un algoritme per a trobar tots els punts racionals en una curva arbitrària de gènero a lo manco 2 en un cos numèric. Existix un algoritme que funciona en alguns casos. La seua terminació en general es derivaria de les conjectura de que el grup Tate-Shafarevich d'una varietat abeliana sobre un cos numèric és finito i que l'obstrucció de Brauer-Manin és l'única obstrucció al principi de Hasse, en el cas de curves.^[5]

Vore també

Referències

↑ Hindry & Silverman (2000), Theorem A.4.3.1.
↑ Silverman (2009), Remark X.4.11.
↑ Silverman (2009), Conjecture X.4.13.
↑ Hindry & Silverman (2000), Theorem E.0.1.
↑ Skorobogatov (2001), section 6,3.

Bibliografia

(2004).«Orbifolds, special varieties and classification theory».Annales de l'Institut Fourier.54(3)

499–630.doi:10.5802/aif.2027.

(1987).«Diophantine Approximation and Transcendence Theory».Springer Nature.1290

1–108.doi:10.1007/BFb0078705.

(2003).«Varieties over a finite field with trivial Chow group of 0-cycles have a rational point».Inventiones Mathematicae.151(1)

187–191.doi:10.1007/s00222-002-0261-8.

(2003).«Higher Dimensional Varieties and Rational Points (Budapest, 2001)».Springer Nature.12

223–282.doi:10.1007/978-3-662-05123-8_8.

(1983).«Cubic forms in tingues variables».Proceedings of the London Mathematical Society.47(2)

225–257.doi:10.1112/plms/s3-47.2.225.

(2000).«Diophantine Geometry: an Introduction».Springer Nature.
(1988).«On nonary cubic forms».Crelle (revista).1988(386)

32–98.doi:10.1515/crll.1988.386.32.

(1980).«Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978)».Acadèmia Scientiarum Fennica.

47–52.

(2002).«Unirationality of cubic hypersurfaces».Journal of the Mathematical Institute of Jussieu.1(3)

467–476.doi:10.1017/S1474748002000117.

(2017).«Rational Points on Varieties».American Mathematical Society.
(2009).«The Arithmetic of Elliptic Curves».Springer Nature.
(2001).«Torsors and Rational Points».Cambridge University Press.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Punto racional» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Hindry & Silverman (2000), Theorem A.4.3.1.

[2] Silverman (2009), Remark X.4.11.

[3] Silverman (2009), Conjecture X.4.13.

[4] Hindry & Silverman (2000), Theorem E.0.1.

[5] Skorobogatov (2001), section 6,3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]