Número p-ádico

Archiu:3-adic integers with dual colorings.svg

Els sancers 3-ádicos, en els caràcters corresponents seleccionats en el seu grup de dualitat de Pontriaguin

En matemàtiques, el sistema numèric $p$ -ádico per a qualsevol número primo $p$ estén l'aritmètica ordinària dels número racional d'una manera diferent a l'extensió dels número racional als sistemes numèrics real i complex. L'extensió es conseguix per mig d'una interpretació alternativa del concepte de rodalia o valor absolut. En particular, es considera que dos números $p$ -ádicos estan prop quan la seua diferència és divisible per una potencia elevada de $p$ : quant major és la potència, més prop estan. Esta propietat permet que els números $p$ -ádicos codifiquen l'informació de congruència d'una manera que resulta tindre aplicacions de gran alcanç en teoria de números, inclosa, per eixemple, la famosa demostració del última teorema de Fermat per Andrew Wiles.^[1]

Estos números varen ser descrits per primera volta per Kurt Hensel en 1897, encara que,^[2] en retrospectiva, alguns dels treballs anteriors d'Ernst Kummer poden interpretar-se com l'us implícit de números $p$ -ádicos.^{[nota 1]} Els números $p$ -ádicos varen ser motivats principalment per un intent de dur les idees i tècniques dels métodos de les series de potències a la teoria de números. La seua influència ara s'estén molt més allà d'este propòsit inicial. Per eixemple, el cos del anàlisis $p$ -ádico proporciona essencialment una forma alternativa de càlcul infinitesimal.

Més formalment, per a un cosí $p$ donat, el cos $ℚ_{p}$ dels números $p$ -ádicos és una compleción mètrica dels número racional en la norma o valor absolut p-ádico $| \cdot |_{p}$ . El cos $ℚ_{p}$ també rep una topología derivada d'una mètrica, que a la seua volta es deriva del orde $p$ -ádico, una valoració alternativa en els número racional. Este espai mètric és complet en el sentit de que cada successió de Cauchy convergix fins a un punt en $ℚ_{p}$ . Açò és lo que permet el desenroll del càlcul en $ℚ_{p}$ , i és l'interacció d'esta estructura analítica i algebraica lo que li dona als sistemes numèrics $p$ -ádicos la seua gran utilitat.

La lletra $p$ en $p$ -ádico és una variable i pot ser reemplaçada per un número primo (lo que produïx, per eixemple, els números 2-ádicos) o una atra expressió que represente a un número primo. El terme «ádico» de « $p$ -ádico» prové de la terminació que es troba en paraules com diàdic o triádico.

Expansió p-ádica dels número racional

La representació decimal d'un número racional $r$ positiu és la seua representació com séries

r = \sum_{i = k}^{\infty} a_{i} 1 0^{- i},

a on $k$ és un número entero i cada $a_{i}$ és també un número entero tal que $0 \leq a_{i} < 10.$ Esta expansió pot ser calculada per mig de la divisió llarga del numerador pel denominador, que a la seua volta es basa en la següent teorema: si $r = \frac{n}{d}$ és un número racional tal que $1 0^{k} \leq r < 1 0^{k + 1},$ hi ha un sancer $a$ tal que $0 < a < 10,$ i $r = a 1 0^{k} + r^{'},$ en $r^{'} < 1 0^{k} .$ L'expansió decimal s'obté aplicant repetidament este resultat al restant $r^{'}$ que en la iteración assumix el paper de l'número racional original $r$ .

La expansió $p$ -ádica d'un número racional es definix de manera similar, pero en un pas de divisió diferent. Més precisament, donat un número primo $p$ fix, cada número racional distint de zero $r$ es pot escriure únicament com $r = p^{k} \frac{n}{d},$ , a on $k$ és un número entero (possiblement negatiu), $n$ i $d$ són número coprimo, abdós coprimos en $p$ , i $d$ és positiu. El sancer $k$ és la valoració $p$ -ádica de $r$ , denotada com $v_{p} (r),$ i $p^{- k}$ és el seu valor absolut $p$ -ádico, denotat com $| r |_{p}$ (el valor absolut és chicotet quan la valoració és gran). El pas de divisió consistix en escriure

Plantilla:Anchor

r = a p^{k} + r^{'}

a on $a$ és un número entero tal que $0 \leq a < p,$ i $r^{'}$ és zero o un número racional tal que $| r^{'} |_{p} < p^{- k}$ (és dir, $v_{p} (r^{'}) > k$ ).

La expansió $p$ -ádica de $r$ és la série formal de potències

r = \sum_{i = k}^{\infty} a_{i} p^{i}

obtingut repetint indefinidament el pas de divisió explicat anteriorment en residus successius. En una expansió $p$ -ádica, tots els $a_{i}$ són sancers tals que $0 \leq a_{i} < p .$

Si $r = p^{k} \frac{n}{1}$ en $n > 0$ , el procés finalment es deté en un restant zero; en este cas, la série es completa en térmens finals en coeficient zero, i és la representació de $r$ en base- $p$ .

L'existència i el càlcul de l'expansió $p$ -ádica d'un número racional resulta de l'identitat de Bézout de la següent manera. Si, com anteriorment, $r = p^{k} \frac{n}{d},$ i $d$ i $p$ són coprimos, existixen els sancers $t$ i $u$ tals que $t d + u p = 1.$ Llavors

r = p^{k} \frac{n}{d} (t d + u p) = p^{k} n t + p^{k + 1} \frac{u n}{d} .

i ademés, la divisió euclídea de $n t$ per $p$ dona

n t = q p + a,

en $0 \leq a < p .$

Açò dona el pas de divisió com

\begin{matrix} r & = & p^{k} (q p + a) + p^{k + 1} \frac{u n}{d} \\ = & a p^{k} + p^{k + 1} \frac{q d + u n}{d}, \end{matrix}

per a que en la iteración

r^{'} = p^{k + 1} \frac{q d + u n}{d}

genere el nou número racional.

Comprovar l'unicitat del pas de divisió i de tota l'expansió $p$ -ádica és fàcil: si $p^{k} a_{1} + p^{k + 1} s_{1} = p^{k} a_{2} + p^{k + 1} s_{2},$ es té que $a_{1} - a_{2} = p (s_{2} - s_{1}) .$ Açò significa que $p$ dividix a $a_{1} - a_{2} .$ Ya que $0 \leq a_{1} < p$ i $0 \leq a_{2} < p,$ deu ser cert que $0 \leq a_{1}$ i $a_{2} < p .$ Aixina, un obté $- p < a_{1} - a_{2} < p,$ i com $p$ dividix a $a_{1} - a_{2}$ això deu ser $a_{1} = a_{2} .$

L'expansió $p$ -ádica d'un número racional és una série que convergix a l'número racional, si s'aplica la definició de série convergent en el valor absolut $p$ -ádico.

En la notació estàndar $p$ -ádica, els dígits s'escriuen en el mateix orde que en el sistema estàndar en base $p$ , és dir, en les potències de la base aumentant cap a l'esquerra. Açò significa que la producció dels dígits s'invertix i el llímit se situa en el costat esquerre.

L'expansió $p$ -ádica d'un número racional és finalment periádica. Recíprocamente, una série $\sum_{i = k}^{\infty} a_{i} p^{i},$ en $0 \leq a_{i} < p$ convergix (per al valor absolut $p$ -ádico) a un número racional si i solament si finalment és periòdic. En este cas, la série és l'expansió $p$ -ádica d'eixe número racional. La demostració és similar al resultat similar a un número decimal periòdic.

Eixemple

Es va a calcular l'expansió 5-ádica segons l'identitat de Bézout per a $\frac{1}{3} .$ El número p és $5$ i el denominador és $3$ . Per lo tant, $2 \cdot 3 + (- 1) \cdot 5 = 1$ (per a eixemples més grans, açò es pot calcular en l'algoritme de Euclides estés). D'esta manera

\frac{1}{3} = 2 - \frac{5}{3} .

Per al següent pas, es té que dividir $- 1 / 3$ (el factor 5 en el numerador de la fracció té que ser vist com un canvi de la valoració $p$ -ádica, i per lo tant, no està involucrat en la divisió). Multiplicant l'identitat de Bézout per $- 1$ s'obté

- \frac{1}{3} = - 2 + \frac{5}{3} .

La «part sancera» $- 2$ no està en l'interval dret. Llavors, es té que usar la divisió euclídea per $5$ per a obtindre $- 2 = 3 - 1 \cdot 5,$ donant

- \frac{1}{3} = 3 - 5 + \frac{5}{3} = 3 - \frac{10}{3},

i

\frac{1}{3} = 2 + 3 \cdot 5 + \frac{- 2}{3} \cdot 5^{2} .

De la mateixa manera, es té que

- \frac{2}{3} = 1 - \frac{5}{3},

i

\frac{1}{3} = 2 + 3 \cdot 5 + 1 \cdot 5^{2} + \frac{- 1}{3} \cdot 5^{3} .

Com ya s'ha trobat el restant $- \frac{1}{3}$ , el procés pot continuar fàcilment, donant coeficients $3$ per a potències impars de cinc i $1$ per a potències parells. O en la notació estàndar 5-ádica

\frac{1}{3} = \dots 131313 2_{5}

en els punts suspensivos $\dots$ en el costat esquerre.

Serie p-ádica

En este artícul, donat un número primo $p$ , una série $p$ -ádica és una série formal de potències de la forma

\sum_{i = k}^{\infty} a_{i} p^{i},

a on tot $a_{i}$ distint de zero és un número racional $a_{i} = \frac{n_{i}}{d_{i}},$ tal que cap dels $n_{i}$ i $d_{i}$ és divisible per $p$ . Si es interpretretan els números en la série anterior com a número real, la série podria no convergir i per això es parla d'una série formal. Encara que si els números es interpetan com a números p-ádicos $a_{i}, p \in ℚ_{p}$ llavors la série és convergent baixe el valor absolut p-ádico $| \cdot |_{p}$ . Es tenen els següents fets:

Tot número racional pot vore's com una série $p$ -ádica en un sol terme, que consistix en la seua factorización de la forma $p^{k} \frac{n}{d},$ en $n$ i $d$ , abdós coprimos en $p$ .
Una série $p$ -ádica està normalisada si cada $a_{i}$ és un número entero en un interval $[0, p - 1] .$ Per lo tant, l'expansió $p$ -ádica d'un número racional és una série $p$ -ádica normalisada.
El valor $p$ -ádico, o orde $p$ -ádico d'una série $p$ -ádica distinta de zero és el sancer més baix $i$ tal que $a_{i} \neq 0.$ L'orde de la série zero és infinit $\infty .$
Dos séries $p$ -ádicas són equivalents si tenen el mateix orde $k$ , i si per a cada sancer $n \geq k$ la diferència entre les seues sumes parcials

\sum_{i = k}^{n} a_{i} p^{i} - \sum_{i = k}^{n} b_{i} p^{i} = \sum_{i = k}^{n} (a_{i} - b_{i}) p^{i}

té un orde major que $n$ (és dir, és un número racional de la forma $p^{k} \frac{a}{b},$ en $k > n,$ i $a$ i $b$ abdós coprimos en $p$ ).

Per a cada série $p$ -ádica $S$ , hi ha una única série normalisada $N$ tal que $S$ i $N$ són equivalents. $N$ és la normalisació de $S .$ La prova és similar a la prova d'existència de l'expansió $p$ -ádica d'un número racional. En particular, cada número racional pot considerar-se com una série $p$ -ádica en un sol terme distint de zero, i la normalisació d'esta série és exactament la representació racional de l'número racional.

En atres paraules, l'equivalència de la série $p$ -ádica és una relació d'equivalència, i cada classe d'equivalència conté exactament una série $p$ -ádica normalisada.

Les operacions usuals de séries (suma, resta, multiplicació, divisió) assignen séries $p$ -ádicas a séries $p$ -ádicas, i són compatibles en l'equivalència de séries $p$ -ádicas. És dir, denotant l'equivalència en , si $S$ , $T$ i $O$ són séries $p$ -ádicas distintes de zero tals que $S \sim T,$ es té que

\begin{matrix} S \pm U & \sim T \pm U, \\ S U & \sim T U, \\ 1 / S & \sim 1 / T . \end{matrix}

Ademés, $S$ i $T$ tenen el mateix orde i el mateix primer terme.

Notació posicional

És possible usar una notació posicional similar a la que s'usa per a representar números en base $p$ .

Siga $\sum_{i = k}^{\infty} a_{i} p^{i}$ una série $p$ -ádica normalisada, és dir, cada $a_{i}$ és un número entero en l'interval $[0, p - 1] .$ Es pot supondre que $k \leq 0$ en establir $a_{i} = 0$ per a $0 \leq i < k$ (si $k > 0$ ), i sumant els térmens zero resultants a la série.

Si $k \geq 0,$ , la notació posicional consistix en escriure $a_{i}$ consecutivament, ordenats per valors decreixents de $i$ , a sovint en $p$ apareixent a la dreta com un índex:

\dots a_{n} \dots a_{1} {a_{0}}_{p}

Llavors, el càlcul del eixemple anterior mostra que

\frac{1}{3} = \dots 131313 2_{5},

i

\frac{25}{3} = \dots 13131320 0_{5} .

Quan $k < 0,$ s'afig un punt de separació abans dels dígits en índex negatiu i, si l'índex $p$ està present, apareix just despuix del punt de separació. Per eixemple,

\frac{1}{15} = \dots 3131313 ._{5} 2,

i

\frac{1}{75} = \dots 1313131 ._{5} 32.

Si una representació $p$ -ádica és finita per l'esquerra (és dir, $a_{i} = 0$ per a valors grans de $i$ ), llavors té el valor d'un número racional no negatiu de la forma $n p^{v},$ en $n, v$ sancers. Estos número racional són exactament els número racional no negatius que tenen una representació finita en base $p$ . Per a estos número racional, les dos representacions són iguals.

Vore també

Referències

Notes

Bibliografia

(1986).«Local Fields».Cambridge University Press.3
(2012).«Theory of Algebraic Functions of One Variable».American Mathematical Society.39. — Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
«A Marvelous Proof».American Mathematical Monthly.101(3)

203–222.doi:10.2307/2975598.

(1997).«p-adic Numbers: An Introduction».Springer.
«Handbook of Algebra».North Holland.6
(1979).«A new representation of the rational numbers for fast easy arithmetic».SIAM Journal on Computing.8(2)

124–134.doi:10.1137/0208011.

(1897).«Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen».Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.6(3)

83–88.

«General Topology».Ishi Press.New York:
(1980).«p-adic analysis: a short course on recent work».Cambridge University Press.46
(2000).«A Course in p-adic Analysis».Springer.

Llectures relacionades

(1964).«Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory».Academic Press.
(1986).«Number Theory».Academic Press.Boston, MA:20
(1984).«p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions».Springer.58
(1981).«p-adic numbers and their functions».Cambridge University Press.Cambridge:76
(1978).«Counterexamples in Topology».Dover.

Enllaços externs

P-adic numbers en Wikimedia Commons.

p-adic Number en MathWorld.
p-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
Efficient p-adic arithmetic (slides)
Introduction to p-adic numbers
«An Infinite Universe of Number Systems».Quanta Magazine.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Número p-ádico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "nota", pero no es trobà una etiqueta <references group="nota"/>

[1] Plantilla:Harv

[2] Plantilla:Harv

[1]

[2]

[nota 1]