Série (matemàtica)

Série (matemàtica)

En matemàtica, una série és la generalisació de la noció de suma, aplicada als infinits térmens d'una successió, #lo que sol escriure's en el símbol de sumatorio:

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+\cdots$

a on $a_k$ és el «terme general» de la successió, que usualment s'expressa per mig d'un regla, o s'obté a partir d'un algoritme.

La generalisació per mig de la qual s'aplega a la definició de la série seguix un método particular de construcció. Este procediment per a sumar els térmens de la successió $\{a_n\}=\{a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_N,\cdots \}$ es denota com la successió:

$\{S_N\}=\{a_1,a_1+a_2,a_1+a_2+a_3,\cdots ,a_1+a_2+a_3+\cdots +a_N,\cdots \}$

la qual fa referència al següent procediment:

Método per a sumar els elements de $\{a_n\}$

denominació formal	denominació ordinal	elements de $\{a_n\}$ que se sumen	notació com suma parcial	notació com sumatorio
suma parcial del primer terme de la série	primera suma	$a_1$	$S_1$	$\sum _{n=1}^1{a}_n$
suma parcial dels primers $2$ térmens de la série	segona suma	$a_1+a_2$	$S_2$	$\sum _{n=1}^2{a}_n$
suma parcial dels primers $3$ térmens de la série	tercera suma	$a_1+a_2+a_3$	$S_3$	$\sum _{n=1}^3{a}_n$
...	...	...	...	...
suma parcial dels primers $N$ térmens de la série	$N$-ésima suma	$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_N$	$S_N$	$\sum _{n=1}^N{a}_n$
...	...	...	...	...
série		$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_N+\cdots$	$S$	$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

A diferència de les sumes finitas ($N$-ésimas sumes), les séries requerixen de ferramentes del anàlisis matemàtic per a ser degudament compreses i manipulades. La seqüència infinita de sumes que implica una série no pot portar-se a terme de forma efectiva (a lo manco en un temps finito). No obstant, si el conjunt al que pertanyen els térmens i les seues sumes finitas té una noció de llímit, a voltes és possible assignar un valor numèric a una série. L'estudi de les séries que pot estudiar-se per mig d'esta noció de llímit consistix en evaluar la suma d'un número finito $n$ de térmens successius ($N$-ésima suma), i per mig d'un pas al llímit, identificar el comportament de la série a mida que $n$ creix indefinidament.

$S=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_N=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^N{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_N+\cdots$

Quan este llímit existix, la qual cosa no sempre ocorre, es diu que la série és convergent o sumable, o que la successió $\{a_1,a_2,a_3,\dots \}$ és sumable, i el número obtingut és denominat "llímit de la série" o "suma total de la série". En cas contrari, es diu que la série és divergent, per a fins pràctics s'expressa verbalment que "la série divergix a $+\mathrm{\infty }$" o "la série divergix a $-\mathrm{\infty }$" depenent del resultat. Existix una gran cantitat de métodos per a determinar la convergència o divergència de les séries, sense necessitat de calcular explícitament el valor de la série.

La noció de série es pot generalisar a atres objectes matemàtics per als quals l'operació suma estiga definida, tal com els números, els vectorés, les matrius, les funcions, etc. De particular interés en matemàtiques són les series de potències.

Durant molt temps, l'idea de que tal potencialment infinit de la suma poguera produir un resultat finito va ser considerada paradòxica. Esta paradoxa es va resoldre utilisant el concepte de llímit durant el XVII. La paradoxa de Zenón d'Aquiles i la tortuga ilustra esta propietat contraintuitiva de les sumes infinites: Aquiles corre darrere d'una tortuga, pero quan alcança la posició de la tortuga al principi de la carrera, la tortuga ha alcançat una segona posició; quan alcança esta segona posició, la tortuga està en una tercera posició, i aixina successivament. Zenón va aplegar a la conclusió de que Aquiles no podria mai alcançar a la tortuga, i per tant eixe moviment no existix. Zenón va dividir la carrera en infinites subcarreras, cada una de les quals requerix una cantitat finita de temps, de modo que el temps total per a que Aquiles alcanç a la tortuga ve dau per una série. La resolució de la paradoxa és que, encara que la série té un número infinit de térmens, té una suma finita, que dona el temps necessari per a que Aquiles alcanç a la tortuga.

En terminologia moderna, qualsevol seqüència infinita (ordenada) $(a_1,a_2,a_3,\dots )$ de térmens (és dir, números, funcions, o qualsevol cosa que es puga sumar) definix una série, que és l'operació de sumar els a_i un darrere l'atre. Per a emfatisar que hi ha un número infinit de térmens, una série pot cridar-se una série infinita.

La notació :${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ denota tant la série -és dir, el procés implícit de sumar els térmens un darrere l'atre indefinidament- com, si la série és convergent, la suma de la série -el resultat del procés-. Esta és una generalisació de la convenció similar de denotar per $a+b$ tant la adició-el procés de sumar-i el seu resultat-la suma de a i b.

Generalment, els térmens d'una série procedixen d'un anell, a sovint el camp $ℝ$ dels número real o el camp $ℂ$ dels número complejo. En este cas, el conjunt de totes les séries és a la seua volta un anell (i inclús un àlgebra associativa), en el que la suma consistix en sumar les series terme a terme, i la multiplicació és el producte de Cauchy.

Propietats bàsiques

Una série infinita o simplement una série és una suma infinita, representada per una expressió infinita de la forma

$a_0+a_1+a_2+\cdots ,$

a on $(a_n)$ és qualsevol seqüència ordenada de térmens, com números, funcions, o qualsevol atra cosa que es puga afegir (un grup abeliano). És una expressió que s'obté a partir de la llista de térmens $a_0,a_1,\dots$ colocant-los un al costat de l'atre, i unint-los en el símbol "+". Una série també pot representar-se utilisant notació de suma, com per eixemple

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

Si un grup abeliano A de térmens té un concepte de llímit (per eixemple, si és un espai mètric), llavors algunes séries, les séries convergents, poden interpretar-se com si tingueren un valor en A, cridat la suma de les séries. Açò inclou els casos comuns de càlcul, en els que el grup és el camp de número real o el camp de número complejo. Donada una série

$s=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

, la seua suma parcial de k-ésimo és

$s_k=\sum _{n=0}^k{a}_n=a_0+a_1+\cdots +a_k.$

Per definició, la série ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergix al llímit L (o simplement suma a L), si la seqüència de les seues sumes parcials té un llímit L. En este cas, se sol escriure

$L=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

Es diu que una série és convergent si convergix a algun llímit, o divergent quan no ho fa. El valor d'este llímit, si existix, és llavors el valor de la série.

Caràcter de les séries

Moltes de les propietats generals de les séries solen enunciar-se en térmens de les sumes parcials associades.

Sumes parcials

Per a qualsevol successió $\{a_n\}$ de número racional, reals, complexos, funcions, etc., la série associada es definix com la suma formal ordenada:

$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$

La successió de sumes parcials $\{S_N\}$ associada a la successió $\{a_n\}$ està definida per a cada número natural $N$ com la suma dels $N$ primers térmens de la successió $\{a_n\}$, des de $a_1$ fins a $a_N$, abdós inclusivament:

$S_N=\sum _{n=1}^N{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_N.$

Convergència

Artícul principal → Serie convergent.

Per definició, la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ convergix al llímit $S$ si i solament si la successió de sumes parcials associada $S_N$ convergix a $S$. Esta definició sol escriure's com

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S⟺\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_N=S$

En cas que $\{S_N\}$ siga convergent, i el seu llímit siga $S$, es diu que $S$ és la suma de la série.

Pot ser que la successió de sumes parcials $\{S_N\}$ siga divergent, és dir, que tenda a més o a menys infinit. En tal cas es diu que la série és divergent. També cap la possibilitat de que no es donen cap de les dos circumstàncies anteriors, per eixemple la successió

$\{1,-1,1,-1,\cdots \}$

té una successió de sumes parcials oscilante:

$\{1,0,1,0,\cdots \}$

en la qual cosa no és convergent ni divergent.

Convergència absoluta

Artícul principal → Convergència absoluta.

Una série $S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ es diu que és absolutament convergent, o que la seua convergència és absoluta, si és convergent la série en la que se sumen els mateixos térmens pero en valor absolut:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|.$

Esta condició és més estricta que l'anterior, és dir, si una série és absolutament convergent llavors és convergent en el sentit ordinari. Ho contrarie no és cert: hi ha séries convergents que no són absolutament convergents. Tals séries es diu que són condicionalmente convergents. Bernhard Riemann va provar una teorema que establix que, donada una série condicionalmente convergent, es poden reordenar els seus térmens de manera que la série resultant convergixca (en sentit ordinari) a qualsevol valor arbitrari o inclús que divergixca.

Eixemples de séries

• Una série geomètrica és la série d'una successió geomètrica: aquella en la que cada terme s'obté multiplicant l'anterior per una constant $r$, cridada raó de la successió. Per eixemple, per a una raó $r=\frac{1}{2}$:

$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$

En general, una série geomètrica és convergent si i solament si $|r|<1$ i en tal cas, la série convergix a

$S=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n=\frac{1}{1-r}$

• La série harmònica és la série

$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

La série harmònica és divergent.

• Una generalisació de la série harmònica són les p-series:

$S=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+\frac{1}{5^p}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$

per a qualsevol número real $p$. Una p-serie és convergent si $p>1$ i divergix en un atre cas. El cas llímit $p=1$ és precisament la série harmònica, que divergix.

• Una série alternada és una série a on cada terme canvia de signe respecte de l'anterior:

$S=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$

• Una série telescòpica és la suma $\sum a_n$, a on $a_n=b_n-b_{n+1}$, és dir

$S=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(b_n-b_{n+1})$

La convergència de dita série i la seua suma es poden calcular fàcilment, ya que:

$S_N=(b_0-b_1)+(b_1-b_2)+\cdots +(b_{N-1}-b_N)+(b_N-b_{N+1})=b_0-b_{N+1}$

Per lo que

$S=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }(b_0-b_{N+1})=b_0-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_N.$

• Una série hipergeométrica és una série de la forma:

$S=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\text{con}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{P(n)}{Q(n)}$

a on $P$ i $Q$ són polinomis en $n$.

• Per als número real, el seu representació decimal pot expressar-se com una série. Per eixemple, el número en expansió periòdica

$0.1111\dots$

es pot expressar per mig de la série

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{10^n}$

Ya que estes séries sempre convergixen en els número real, no hi ha diferència entre este tipo de séries i els número decimal que representen. Per eixemple, $0,\mathrm{111...}=\frac{1}{9}$; $1=0,\mathrm{9999...}$ (vejau l'entrada «0,9 periòdic»).

Criteris de convergència

Artícul principal → Test de convergència.

Es pot demostrar que la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ és convergent si i solament si

$\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{n+1}+\cdots +a_m=0,$

resultat de que la successió de sumes parcials és convergent si i solament si és una successió de Cauchy (en un espai complet). Si tots els térmens $a_n$ són zero a partir de cert $N$, llavors es complix la condició anterior, i de fet la série es pot identificar en una suma finita. En el cas general, quan existixen infinits térmens no nuls, este resultat no té especial utilitat en la pràctica. No obstant sí que proporciona una condició necessària per a que una série siga convergent:

Existixen diversos criteris per a determinar si una série és convergent. Varis d'ells es basen en determinar com de ràpit tendixen a zero els térmens de la successió que se sumixca. D'esta classe són el criteri del cocient (o de d'Alembert), el Criteri de la raïl (o de Cauchy) i el criteri de Raabe. Atres métodos es basen en comparar la série en una atra de la que es conega la seua convergència. D'este gènero són el método de la mayorante (o de la M) i el método del pas al llímit del cocient.

Es coneixen resultats concrets quan els térmens de la successió complixen alguna condició. Per eixemple, si la série és alternante, el criteri de Leibniz dictamina que la série convergix si i solament si

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0\text{y}|a_n|\text{es monótona decreciente.}$

Per al cas de que tots els térmens siguen no negatius, la série convergix si i solament si la successió de sumes parcials és acotada. Per a este tipo de séries es pot amprar el criteri de l'integral: si el terme general ve dau per $a_n=f(n)$, sent $f(n)$ una funció real monòtona, decreixent i no negativa, llavors el valor de la série està acotat inferior i superiormente per les següents integrals impròpies:

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx<\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)<f(1)+\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x-1)dx.$

En particular, la série té el mateix caràcter (convergent o divergent) que l'integral del costat esquerre de la desigualtat. Per eixemple, en el cas de la série harmònica, a on $a_n=1/n$, la convergència de la série depén de la convergència de l'integral

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dx}{x}=[\log x{]}_1^{\mathrm{\infty }}\to \mathrm{\infty }$

per lo que la série harmònica és divergent.

Operacions en séries

És possible definir la suma de dos séries convergents de la següent manera: donades $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=A$ i $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=B$, es definix la suma

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)=A+B.$

D'anàloga manera es definix el producte per un escalar $c$ com

$c\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(c\cdot a_n)=cA.$

En estes dos operacions, es pot dotar d'estructura d'espai vectorial a conjunts de séries.

El producte de dos séries no resulta tan immediat. En freqüència es considera el cridat producte de Cauchy, que es definix com

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)$

El producte de dos séries convergents pugues no ser convergent. No obstant, per un dels teoremes de Mertens, si abdós séries convergixen, i una d'elles ho fa absolutament, llavors la suma del producte convergix al producte de les sumes.

Vejau també

• Série de Taylor.
• Série de Laurent.
• Série de Fourier.
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
• Séries trigonométricas.
• Fòrmula de Faulhaber.
• Série convergent.
• Llímit d'una successió.
• 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄8 + 1⁄16 + …
• Anex:Séries matemàtiques.

Referències

Bibliografia

• Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Séries MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.

• (1983).«Calculus with analytic geometry».Prindle, Weber & Schmidt.
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces, Springer-Verlag. OCLC 539541. ISBN 0-387-05644-0.
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces, University Press. OCLC 589250. ISBN 0-521-29882-2.

• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer. OCLC 48092184. ISBN 1-85233-437-1.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products, Springer-Verlag. OCLC 5126158. ISBN 3-540-09513-6.

Enllaços externs

• Séries en MathWorld.
• Plantilla:Springer