Llímit (matemàtica)

Llímit (matemàtica)

En anàlisis real i complex, la teoria de llímit és la clau de toc que formalisa la noció intuïtiva d'aproximació cap a un punt concret d'una successió o una funció, a mida que els paràmetros d'eixa successió o funció s'acosten a un determinat valor. En l'anàlisis els conceptes de séries convergents, derivada i integral definida es fonamenten per mig del concepte de llímit.

En càlcul (especialment en anàlisis real i matemàtic) este concepte s'utilisa para definir els conceptes fonamentals de convergència, continuïtat, derivació, integració, entre uns atres. Si ben el concepte de llímit sembla intuitivamente relacionat en el concepte de distància, en un espai euclídeo, és la classe de conjunts oberts induïts per dita mètrica, #lo que permet definir rigorosament la noció de llímit.

El concepte es pot generalisar a uns atres espais topològics, com poden ser les rets topològiques; de la mateixa manera, és definit i utilisat en atres branques de la matemàtica, com pot ser la teoria de categories.

Per a fòrmules, el llímit s'utilisa usualment de forma abreviada per mig de $\lim$ com en $\lim (a_n)=a$; o es representa per mig de la flecha ($\to$) com en $a_n\to a$.

Història

Segons Hermann Hankel (1871), el concepte modern de llímit té el seu orige en la Proposició X.1 dels Elements de Euclides, que constituïx la base del Método d'agotament trobat en Euclides i Arquímedes: "Expostes dos magnituts desiguals, si de la major es resta una magnitut major que la seua mitat, i de la que queda una magnitut major que la seua mitat, i si este procés es repetix contínuament, llavors quedarà alguna magnitut menor que la magnitut menor exposta. "

Grégoire de Saint-Vincent va donar la primera definició de llímit (terminus) d'una série geomètrica en la seua obra Opus Geometricum (1647): "El terminus d'una progressió és el final de la série, al que cap progressió pot aplegar, encara que no li la continue en l'infinit, pero al que pot acostar-se més que a un segment donat. "

La definició moderna de llímit es remonta a Bernard Bolzano qui, en 1817, va desenrollar els fonaments de la tècnica épsilon-delta per a definir funcions contínues. No obstant, el seu treball va ser desconegut per a atres matemàtics fins a trenta anys despuix de la seua mort.

Augustin-Louis Cauchy en 1821, seguit per Karl Weierstrass, va formalisar la definició del llímit d'una funció que es va conéixer com la definició (ε, δ) de llímit.

La notació moderna de colocar la flecha baix del símbol de llímit es deu a G. H. Hardy, qui la va introduir en el seu llibre Un curs de matemàtiques pures en 1908.

Llímit d'una successió

Artícul principal → Llímit d'una successió.

El concepte de llímit d'una successió es referix a un element al que els térmens de la successió s'aproximen progressivament. Per a que este valor existixca, deu haver un terme a partir del com la successió queda «atrapada» dins d'una bola oberta de radi arbitrariamente menut centrada en dit valor.

Siga $A=\{a_1,a_2,\dots \}=\{a_n\}$ una successió d'elements en un espai mètric $(X,d)$. Es diu que $L\in X$ és el llímit de la successió $A$ i es denota com:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$ o be $a_n\to L$

si, i solament si para tot valor real $\epsilon >0$ es pot trobar un número natural $N$ tal que tots els térmens de la successió a partir de $a_N$ estan a una distància de $L$ inferior a $\epsilon$. Escrit en un llenguage formal:

Si existix un valor que satisfà l'anterior condició, llavors este valor és únic. En tal cas es diu que la successió $A$ és convergent, ya que convergix o tendix a $L$ quan $n$ tendix a infinit. En cas contrari, la successió $A$ no té llímit i es diu que és divergent.

En el cas d'número real, la distància ve donada pel valor absolut de la diferència. El comportament a llarc determini (per a $n\to \mathrm{\infty }$) de les successions divergents d'número real pot variar: hi ha successions que tendixen cap a l'infinit (positiu o negatiu), que oscilen dins d'un ranc (delimitat per un llímit superior i un llímit inferior), o cap de les anteriors.

Llímit d'una funció

Artícul principal → Llímit d'una funció.

En anàlisis real para funcions d'una variable, es pot fer una definició de llímit similar a la de llímit d'una successió, en la qual, els valors que pren la funció dins d'un interval o ràdio de convergència es van aproximant a un punt fixat c — punt d'acumulació —, independentment de que este pertanyga al domini de la funció. Açò es pot generalisar encara més a funciones de vàries variables o funcions en distints espais mètrics.

Coloquialmente, es diu que el llímit de la funció f(x) quan x tendix a c és L , i s'escriu:

si es pot trobar per a cada ocasió un x suficientment prop de c tal que el valor de f(x) siga tan pròxim a L com es desige.

Per a un major rigor matemàtic s'utilisa la definició épsilon-delta de llímit, que és més estricta i convertix al llímit en una gran ferramenta del anàlisis real. La seua definició és la següent:

"El llímit de f(x) quan x tendix a c és igual a L si i només si para tot número real ε major que zero existix un número real δ major que zero tal que si la distància entre x i c és menor que δ, llavors la distància entre la image de x i L és menor que ε unitats".

Esta definició es pot escriure utilisant térmens llògic-matemàtics i de manera compacta:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:0<|x-c|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon$

Esta definició és equivalent al llímit d'una successió, una funció és contínua si:

Llímit d'una successió de conjunts

Artícul principal → Llímit (successió de conjunts).

En teoria de conjunts també s'utilisa el concepte de llímit, que es pot calcular sobre una successió de conjunts. Per a això, els conjunts deuen complir una série de condicions, com pot ser la monotonia (creixent o decreixent). De manera més general, i utilisant la definició de llímit superior i llímit inferior per a una successió de conjunts qualsevol $A_n$, es diu que el llímit d'esta successió existix si el llímit superior i llímit inferior existixen i són iguals. En general es té:

Si el llímit primer terme i el penúltim són iguals llavors es verifiquen totes les igualtats. Estos conceptes són molt útils en disciplines de les matemàtiques com la teoria de la mida, especialment en espais de provabilitat. No és difícil construir successions no convergents a on es verifica que:

Llímit en espais topològics

Rets

Vore també: Ret (matemàtiques)

Totes les nocions anteriors de llímit poden ser unificades i generalisades a espais topològics arbitraris per mig de l'introducció de rets topològiques i la definició dels seus llímits.

Siga $(X,T)$ un espai topològic i $(x_d{)}_{d\in D}$ una ret en $X$. Es diu que $x\in X$ és un punt llímit de la ret $(x\in \underset{d\in D}{\lim }{x}_d)$ si la ret està finalment en cada entorn de $x$, és dir, si qualsevol que siga l'entorn $V$ de $x$ (açò és, qualsevol que siga el conjunt $V$ de manera que existixca un obert $G$ tal que $x\in G\subset V$) existix un $d_0\in D$ de tal forma que per a cada $d\in D$ en $d_0\sim d$ es complix que $x_d\in V$.

Filtres

Vore també: Filtre (matemàtiques)

En el cas de filtres, per ser objectes matemàtics similars a rets topològiques, també és possible la definició de llímit. En efecte, siga X un espai topològic i x un punt de X. Es diu que un filtre base B convergix a x, denotat com a B → x o $\lim ℬ=x$, si para tot entorn O de x, existix un B₀ ∈ B tal que B₀ ⊆ O. En este cas, x es diu llímit de B i B es denomina filtre base convergent.

D'igual manera, es pot aplicar a funcions, estenent la definició de continuïtat a estes. Si X, I són dos espais topològics i f: X → I és una funció, sent B un filtre entorn en X d'un punt a pertanyent a X, llavors el llímit sobre el filtre B de f és i, denotat com

$\underset{ℬ}{\lim }f=y$

si B convergix a a, després f convergix a i; dit d'una atra forma, i és el llímit de f en el punt a.

Llímit de Banach

Artícul principal → Llímit de Banach.

En anàlisis funcional, un llímit de Banach és un funcional llineal continu $\varphi :{\ell }_{\mathrm{\infty }}\to ℝ$ definit sobre el espai de Banach ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$ per a tota successió acotada de número complejo, a on es complixen una série de condicions entre les que es troba que si $x_n$ és una successió convergent, llavors $\varphi (x)=\underset{n}{\lim }{x}_n$, generalisant el concepte de llímit. Per lo tant, $\varphi$ és una extensió del funcional continu $\lim :c\mapsto ℂ.$

En particular, l'existència del llímit de Banach no és única.

Llímits en teoria de categories

Artícul principal → Llímit (teoria de categories).

En teoria de categories, una branca de la matemàtica, es definix el concepte abstracte de llímit, el qual usa propietats essencials de construccions universals tals com productes i llímits inversos.

Tipos de llímits

L'infinit com a llímit

També existix la noció de que un llímit «tendixca a l'infinit», en lloc d'un valor finito $L$. Una successió $\{a_n\}$ es diu que "tendix a l'infinit" si, per a cada número real $M>0$, conegut com la frontera, existix un número entero $N$ tal que per a cada $n>N$, $$a_n>M.$$ O siga, per a tota frontera possible, la successió aplegarà a excedir la frontera. A sovint això s'expressa de la següent manera $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\mathrm{\infty }$ o simplement $a_n\to \mathrm{\infty }$.

És possible que una successió siga divergent, pero no tenda a l'infinit. Tals successions es denominen oscilatòries. Per eixemple una successió oscilatòria és $a_n=(-1{)}^n$.

Existix una noció corresponent de tendència a l'infinit negatiu, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=-\mathrm{\infty }$, definida modificant la desigualtat en la definició prèvia a $a_n<M,$ en $M<0.$

Una successió $\{a_n\}$ en $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|a_n|=\mathrm{\infty }$ és denominada sense frontera, una definició també vàlida per a successions de número complejo, o en qualsevol espai mètric. Les seqüències que no tendixen a infinit es denominen acotades. Les successions que no tendixen a un infinit positiu són denominades acotades per dalt, mentres que aquelles que no tendixen a un infinit negatiu són denominades acotades per avall.

Conjunt llímit d'una trayectòria

Esta noció s'utilisa en sistemes dinàmics, per a estudiar els llímits de les trayectòries. Definint una trayectòria com una funció $\gamma :ℝ\to X$, el punt $\gamma (t)$ definix la "posició" de la trayectòria en a el "temps" $t$. El conjunt llímit d'una trayectòria es definix com seguix. Per a qualsevol successió de temps creixents $\{t_n\}$, existix una successió associada de posicions $\{x_n\}=\{\gamma (t_n)\}$. Si $x$ és el llímit de la successió $\{x_n\}$ per a qualsevol successió de temps creixents, llavors $x$ és un conjunt llímit de la trayectòria. Tècnicament, est és el conjunt llímit $\omega$. El corresponent conjunt de llímits per a sucesións de temps decreixent es denomina el conjunt llímit $\alpha$.

Un eixemple ilustrativo és la trayectòria circular: $\gamma (t)=(\cos (t),\sin (t))$. La mateixa no posseïx un llímit únic, pero per a cada $\theta \in ℝ$, el punt $(\cos (\theta ),\sin (\theta ))$ és un punt llímit, donada la successió de temps $t_n=\theta +2\pi n$. Pero no és necessari que els punts llímit siguen alcançats per la trayectòria. La trayectòria $\gamma (t)=t/(1+t)(\cos (t),\sin (t))$ també té al círcul unitari somo el seu conjunt llímit.

Vore també

• Continuïtat (matemàtiques)
• Llímit d'una successió
• Llímit d'una funció
• Llímit d'una ret topològica
• Llímit superior i llímit inferior
• Llímit (teoria de categories)
• Asíntota
• Anàlisis asintòtic: método per a descriure el comportament llímit.
  • Notació Big O: utilisada per a descriure el comportament llímit d'una funció quan l'argument tendix cap a un valor particular o cap a l'infinit
• Llímit de Banach definit en l'espai de Banach ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ que estén els llímits usuals.
• Convergència de variables aleatòries
• Matriu convergent
• Llímit en teoria de categories
  • Llímit directe
  • Llímit invers
• Llímit d'una funció
  • Llímit unilateral: qualsevol dels dos llímits de funcions d'una variable real x, en acostar-se x a un punt per dalt o per avall.
  • Llista de llímits: llista de llímits de funcions comunes
  • Teorema de la compressió: troba el llímit d'una funció per comparació en atres dos funcions
• Modos de convergència
  • Un índex anotat

Bibliografia

• Apostol, Tom M. (1960). Anàlisis matemàtic: Introducció moderna al càlcul superior, Reverté. ISBN 84-291-5000-5.
• Gardner Bartle, Robert (1982). Introducció a l'anàlisis matemàtic, Limusa. ISBN 968-18-0997-1.

Enllaços externs

• Plantilla:Mathwords
• Llímit (matemàtica) en MathWorld.
• Llímits de funcions. Introducció

• Introducció al Càlcul de Llímits (vídeo)