Série geomètrica

Série geomètrica

Cada u dels quadrats púrpures té 1/4 de l'àrea del quadrat anterior més gran (1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de les àrees dels quadrats púrpures és 1/3 de l'àrea de tot el quadrat gran.

En matemàtiques, una série geomètrica és la suma d'un número infinit de térmens que té una raó constant entre els seus térmens successius. Per eixemple, la série

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

és geomètrica perque cada terme successiu s'obté en multiplicar l'anterior per $1/2$.

En general, una série geomètrica és escrita com

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$

a on $a$ és el coeficient de cada terme i $r$ és la raó entre cada terme successiu.

Les séries geomètriques són les séries infinites més simples i poden ser utilisades com una introducció bàsica a les series de Taylor i séries de Fourier.

Raó comuna

Els térmens d'una série geomètrica formen una progressió geomètrica, és dir que la raó entre térmens successius permaneix constant.

El comportament dels térmens depén de la raó comuna $r$:

• Si $|r|<1$ els térmens decreixen i s'acosten a zero en el llímit. En tal cas, la série convergix.
• Si $|r|>1$ els térmens de la série s'incrementen en magnitut. La suma dels térmens també aumenta i la série no té suma. La série divergix.

Suma

Ilustració d'una suma autosimilar.

La suma d'una série geomètrica serà finita sempre i quan els térmens s'aproximen a zero; a mida que s'acosten al zero, les cantitats es tornen insignificantemente menudes, permetent calcular la suma sense importar el fet que la série siga infinita. La suma pot ser obtinguda utilisant les propietats autosimilares de la série.

Fòrmula

Per a $r\ne 1$, la suma dels primers $n+1$ térmens d'una série geomètrica és:

$S_{n+1}=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n=\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\left(\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\right)$

a on $r$ és la raó comuna.

Quan $a=1$ llavors l'expressió anterior es reduïx a

$\sum _{k=0}^n{r}^k=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$

Demostració

Siga

$S_{n+1}=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n$

si multipliquem abdós costats de l'igualtat per $r$ llavors

$r{S}_{n+1}=ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots +a{r}^n+a{r}^{n+1}$

realisant $S_{n+1}-r{S}_{n+1}$

$\begin{array}{ccccccccccc}a& +& ar& +& a{r}^2& +& a{r}^3& +& \cdots & +& a{r}^n\\ & -& ar& -& a{r}^2& -& a{r}^3& -& \cdots & -& a{r}^n& -& a{r}^{n+1}\\ a& & & & & & & & & & & -& a{r}^{n+1}\end{array}$

per lo que :$\begin{array}{cc}{S}_{n+1}-r{S}_{n+1}& =a-a{r}^{n+1}\\ S_{n+1}(1-r)& =a(1-r^{n+1})\end{array}$ com $r\ne 1$ llavors

$S_{n+1}=a\left(\frac{1-r^{n+1}}{1-r}\right).$

D'esta manera:

$S_n=a\left(\frac{1-r^n}{1-r}\right).$

Eixemple

Donada la série

$s=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$

La raó és $r=\frac{1}{2}$ i el primer terme és $a=1$, per lo que la suma dels primers 10 térmens de la série (des de $n=0$, fins a $n=9$) és:

$s_{10}=1\left(\frac{1-{\frac{1}{2}}^{10}}{1-\frac{1}{2}}\right)=\frac{1-\frac{1}{1024}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1023}{1024}}{\frac{1}{2}}=\frac{2046}{1024}=\frac{1023}{512}=1.998046875$

Vore també

• Série
• Criteri de d'Alembert
• Progressió geomètrica
• Raó (matemàtica)

Referències

• Geometric Séries en MathWorld.
• Plantilla:PlanetMath