Série de Taylor

En matemàtica, una série de Taylor és una aproximació de funcions per mig d'una série de potències o suma de potències sanceres de polinomis com

A mida que aumenta el grau del polinomi de Maclaurin, es aproxima a la funció. S'ilustren les aproximacions de Maclaurin a sen(x), centrades en 0, de graus 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.

$(x-a{)}^n$

cridats térmens de la série, dita suma es calcula a partir de les derivades de la funció per a un determinat valor o punt

$a$

suficientment derivable sobre la funció i un entorn sobre el qual convergixca la série. A la série centrada sobre el punt zero, és dir, quan

$a=0$

, se li denomina també série de Maclaurin.

Esta aproximació té tres ventages importants:

• La derivació i integració d'una d'estes séries es pot realisar terme a terme, que resulten operacions trivials;
• es pot utilisar per a calcular valors aproximats de funcions;
• és possible calcular la optimidad de l'aproximació.

Algunes funcions no es poden escriure com a série de Taylor perque tenen alguna singularitat. En estos casos normalment es pot conseguir un desenroll en série utilisant potències negatives de $x$ (vore Série de Laurent). Per eixemple $f(x)=\exp (-1/x^2)$ es pot desenrollar com a série de Laurent. La série Taylor deu el seu nom a Brook Taylor, que les va introduir en 1715.

Definició

La série de Taylor d'una funció real o complexa $f(x)$ infinitament diferenciable en l'entorn d'un número real o complex a és la següent série de potències:

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n+\cdots$

La gràfica de la funció exponencial (en blava), i la suma dels primers n+1 térmens de la seua série de Taylor entorn a zero (en roig)

a on

$n!$

denota el factorial de

$n$

. Utilisant la notació sigma, lo anterior pot ser escrit de manera compacta com

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

a on $f^{(n)}(a)$ denota la $n$-ésima derivada de $f$ evaluada en el punt $a$. (La derivada d'orde zero de $f$ és definida com la pròpia $f$ i tant $(x-a{)}^0$ com $0!$ són abdós definits com $1$.)

En particular, quan $a=0$, la série és denominada: série de Maclaurin.

cal destacar que en una série de Taylor de potències centrada en $a$ de la forma $\sum a_n(x-a{)}^n$ sempre es pot fer el canvi de variable $z=x-a$ (en lo que $x=z+a$ en la funció a desenrollar original) per a expressar-la com $\sum a_n{z}^n$ centrada en 0. Després cal desfer el canvi de variable. Per eixemple, si es vol desenrollar la funció $f(x)=x\ln x$ al voltant de a = 1 es pot prendre $z=x-1$, de manera que es desenrollaria $f(z+1)=(z+1)\ln (z+1)$ centrada en 0.

Eixemples

La série de Taylor d'un polinomi és el propi polinomi.

La série de Maclaurin per a $\frac{1}{1-x}$ és la série geomètrica

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots$

per lo que la série de Taylor per a $\frac{1}{x}$ en $a=1$ és

$1-(x-1)+(x-1{)}^2-(x-1{)}^3+\cdots$

Integrant la série de Maclaurin de dalt, obtenim la série de Maclaurin de $\ln (1-x)$, a on $\ln$ denota el logaritme natural

$-x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4-\cdots$

més general, la série de Taylor per a $\ln (x)$ en un punt arbitrari $a\ne 0$ és

$(x-1)-\frac{1}{2}(x-1{)}^2+\frac{1}{3}(x-1{)}^3-\frac{1}{4}(x-1{)}^4-\cdots$

La série de Maclaurin de la funció exponencial $e^x$ és

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}& =\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \\ & =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots \end{array}$

Història

El filòsof eleata Zenón de Elea va considerar el problema de sumar una série infinita per a conseguir un resultat finit, pero ho va descartar per considerar-ho impossible: el resultat varen ser les paradoxes de Zenón. Posteriorment, Aristóteles va propondre una resolució filosòfica a la paradoxa, pero el contingut matemàtic d'esta no va quedar resolt fins que ho varen reprendre Demócrito i despuix Arquímedes. Va ser a través del método exhaustiu de Arquímedes que un número infinit de subdivisions geomètriques progressives podien alcançar un resultat trigonométrico finit. Independentment, Liu Hui va utilisar un método similar centenars d'anys despuix.

En el XIV, els primers eixemples de l'us de séries de Taylor i métodos similars varen ser donats per Madhava de Sangamagrama. A pesar de que hui en dia cap registre del seu treball ha sobrevixcut als anys, escrits de matemàtics hindús posteriors de l'escola de Kerala d'astronomia i matemàtiques sugerixen que ell va trobar un número de casos especials de la série de Taylor, inclosos aquells per a les funcions trigonométricas del sen, coseno, tangente i arcotangente (vore les Séries de Madhava).

En el XVII, James Gregory també va treballar en esta àrea i va publicar vàries séries de Maclaurin. Pero en 1715 es va presentar una forma general per a construir estes séries per a totes les funcions per a les que existix i va ser presentat per Brook Taylor, de qui rep el seu nom.

Les séries de Maclaurin varen ser nomenades aixina per Colin Maclaurin, un professor d'Edimburc, qui va publicar el cas especial de les séries de Taylor en el XVIII.

Funció analítica

Si $f(x)$ està donada per una série de potències convergent en un disc obert (o interval en la recta real) centrada en $b$ en el pla complex llavors es diu que és analítica en el disc, per lo que para $x$ en este disc, $f$ està donada per la série de potència convergent

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-b{)}^n$

derivant sobre $x$ la fòrmula anterior $n$ voltes i evaluant $x=b$ obtenim

$\frac{f^{(n)}(b)}{n!}=a_n$

i en tal cas, l'expansió en séries de potència coincidix en la série de Taylor. Per lo tant, una funció és analítica en un disc obert centrat en $b$ si i només si la seua série de Taylor convergix al valor de la funció en cada punt en el disc.

Si $f(x)$ és igual a la suma de la seua série de Taylor para tota $x$ en el pla complex llavors $f$ és cridada sancera. Els polinomis, la funció exponencial $e^x$ i les funcions trigonométrica sen i coseno, són eixemples de funcions sanceres. Eixemples de funcions que no són sanceres són el logaritme, la funció trigonométrica tangente i la seua inversa, arcotangente; per a estes funcions la série de Taylor no convergix si $x$ està alluntat de $b$, açò és, la série de Taylor divergix per a $x$ si la distància entre $x$ i $b$ és major que el ràdio de convergència. La série de Taylor pot ser usada per a calcular el valor d'una funció sancera en cada punt si el valor de la funció i totes les seues derivades són conegudes en cada punt.

Llista de Séries de Maclaurin d'algunes funcions comunes

Erro al crear miniatura:

La funció coseno

Erro al crear miniatura:

Una aproximació d'octau orde de la funció coseno en el pla dels complexos

Erro al crear miniatura:

Les dos imàgens superiors unides

A continuació s'enumeren algunes séries de Maclaurin de funcions bàsiques. Tots els desenrolls són també vàlits per a valors complexos de $x$.

Funció exponencial

La funció exponencial $e^x$ té com a série de Maclaurin

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

i convergix per a tota $x$.

Logaritmo natural

El logaritme natural (en base $e$) té com a série de Maclaurin

$\ln (1-x)=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots$

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$

i convergixen per a $|x|<1$.

Série geomètrica

La série geomètrica i les seues derivades tenen série de Maclaurin

$\begin{array}{cc}\frac{1}{1-x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\\ \frac{1}{(1-x{)}^2}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}\\ \frac{1}{(1-x{)}^3}& =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}\end{array}$

i totes convergixen per a $|x|<1$.

Série binomial

La série binomial és la série de potències

$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n$

els coeficients del qual són els coeficients binomiales generalisats

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

Convergix per a $|x|<1$ per a qualsevol $\alpha \in ℝ$.

Quan $\alpha =-1$, obtenim la série geomètrica mencionada anteriorment

Funcions trigonométricas

Les funcions trigonométricas usuals i les seues inverses tenen com a séries de Maclaurin:

$\begin{array}{cc}\mathrm{sen}x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\text{para toda }x\\ \cos x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}\text{para toda }x\\ \tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}\text{para }|x|<\frac{\pi }{2}\\ \sec x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}\text{para }\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \csc x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2(-1{)}^{n-1}(2^{2n-1}-1)B_{2n}{x}^{2n-1}}{(2n)!}\text{para }0<\left|x\right|<\pi \\ \text{arcsen }x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{para }\left|x\right|<1\\ \arccos x& =\frac{\pi }{2}-\text{arcsen }x\\ \arctan x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}\text{para }\left|x\right|<1\end{array}$

Tots els ànguls estan expressats en radianes. Els números $B_k$ són els números de Bernoulli mentes que $E_k$ són els números de Euler.

Funcions hiperbòliques

Les funcions hiperbòliques tenen com a séries de Maclaurin

$\begin{array}{cc}\text{senh }x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\text{para toda }x\\ \cosh x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\text{para toda }x\\ \tanh x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}\text{para }\left|x\right|<\frac{\pi }{2}\\ \text{arcsenh }x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}\text{para }\left|x\right|<1\\ \text{arctanh }x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\text{para }\left|x\right|<1\end{array}$

a on els números

$B_k$

són els números de Bernoulli.

Funció W de Lambert

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}{x}^n}{n!}\text{para }\left|x\right|<\frac{1}{e}$

Série de Taylor en vàries variables

La série de Taylor es pot generalisar a funcions de més d'una variable com

$\begin{array}{cc}f(x_1,\dots ,x_d)& =\sum _{n_1=0}^{\mathrm{\infty }}\cdots \sum _{n_d=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x_1-a_1{)}^{n_1}\cdots (x_d-a_d{)}^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\left(\frac{{\partial }^{n_1+\cdots +n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots ,a_d)\\ & =f(a_1,\dots ,a_d)+\sum _{j=1}^d\frac{\partial f(a_1,\dots ,a_d)}{\partial x_j}(x_j-a_j)+\frac{1}{2!}\sum _{j=1}^d\sum _{k=1}^d\frac{{\partial }^{2}f(a_1,\dots ,a_d)}{\partial x_j\partial x_k}(x_j-a_j)(x_k-a_k)\\ & +\frac{1}{3!}\sum _{j=1}^d\sum _{k=1}^d\sum _{\phi =1}^d\frac{{\partial }^{3}f(a_1,\dots ,a_d)}{\partial x_j\partial x_k\partial x_{\phi }}(x_j-a_j)(x_k-a_k)(x_{\phi }-a_{\phi })+\cdots \\ \end{array}$

Com a eixemple, per a una funció de 2 variables $f(x,y)$, la série de Taylor de segon orde al voltant del punt $(a,b)$ és:

$f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\frac{1}{2}(f_{xx}(a,b)(x-a{)}^2+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b{)}^2).$

a on els subíndexs denoten les respectives derivades parcials, açò és

$f(a,b)+\frac{\partial f(a,b)}{\partial x}(x-a)+\frac{\partial f(a,b)}{\partial y}(y-b)+\frac{1}{2}(\frac{{\partial }^{2}f(a,b)}{\partial x^2}(x-a{)}^2+2\frac{{\partial }^{2}f(a,b)}{\partial x\partial y}(x-a)(y-b)+\frac{{\partial }^{2}f(a,b)}{\partial y^2}(y-b{)}^2).$

Una expansió en série Taylor de segon orde per a funcions escalares de més d'una variable pot ser escrit de manera compacta com

$T(𝐱)=f(𝐚)+(𝐱-𝐚{)}^{T}Df(𝐚)+\frac{1}{2}(𝐱-𝐚{)}^T{D}^{2}f(𝐚)(𝐱-𝐚)+\cdots$

a on $Df(𝐚)$ és el gradient de $f$ en $𝐱=𝐚$ i $D^{2}f(𝐚)$ és la matriu hessiana. Una atra forma:

$T(𝐱)=\sum _{|\alpha |\ge 0}^{}\frac{{\mathrm{D}}^{\alpha }f(𝐚)}{\alpha !}(𝐱-𝐚{)}^{\alpha }$

Aplicacions

Ademés de l'òbvia aplicació d'utilisar funcions polinòmiques en lloc de funcions de major complexitat per a analisar el comportament local d'una funció, les séries de Taylor tenen moltes atres aplicacions.

Algunes d'elles són: anàlisis de llímits i estudis paramètrics dels mateixos, estimació de número irracional acotant el seu error, la regla de l'Hôpital per a la resolució de llímits indeterminats, estudi de punts estacionaris en funcions (màxims o mínims relatius o punts cadires de tendència estrictament creixent o decreixent), estimació d'integrals, determinació de convergència i suma d'algunes séries importants, estudi d'orde i paràmetro principal de infinitésimos, etc.

Conjunt $O_{x,\alpha }^n(h)$ d'operadors fraccionales

El càlcul fraccional de conjunts (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionat per primera volta en l'artícul titulat "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods", és una metodologia derivada del càlcul fraccional. El concepte principal darrere de el FCS és la caracterisació dels elements del càlcul fraccional utilisant conjunts per la gran cantitat d'operadors fraccionales disponibles. Esta metodologia es va originar a partir del desenroll del método de Newton-Raphson fraccional i treballs relacionats posteriors.

Ilustració d'algunes llínees generades pel método de Newton–Raphson fraccional per a la mateixa condició inicial $x_0$ pero en diferents órdens $\alpha$ de l'operador fraccional implementat. Font: Applied Mathematics and Computation

El càlcul fraccional, una branca de les matemàtiques que tracta en derivades d'orde no sancer, va sorgir casi simultàneament en el càlcul tradicional. Esta emergència va ser en part per la notació de Leibniz para derivades d'orde sancer: $\frac{d^n}{d{x}^n}$. Gràcies a esta notació, L'Hopital va poder preguntar en una carta a Leibniz sobre l'interpretació de prendre $n=\frac{1}{2}$ en una derivada. En eixe moment, Leibniz no va poder proporcionar una interpretació física o geomètrica per a esta pregunta, per lo que simplement va respondre a L'Hopital en una carta que «... és una aparent paradoxa de la qual, algun dia, es derivaran conseqüències útils».

El nom «càlcul fraccional» s'origina a partir d'una pregunta històrica, ya que esta branca de l'anàlisis matemàtic estudia derivades i integrals d'un cert orde $\alpha \in ℝ$. Actualment, el càlcul fraccional carix d'una definició unificada de lo que constituïx una derivada fraccional. En conseqüència, quan no és necessari especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}.$

Els operadors fraccionales tenen vàries representacions, pero una de les seues propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mida que $\alpha \to n$. Considerant una funció escalar $h:{ℝ}^m\to ℝ$ i la base canònica de ${ℝ}^m$ denotada per $\{{\hat{e}}_k{\}}_{k\ge 1}$, el següent operador fraccional d'orde $\alpha$ es definix utilisant notació d'Einstein:

$o_x^{\alpha }h(x):={\hat{e}}_k{o}_k^{\alpha }h(x).$

Denotant $\underset{k}{\overset{n}{\partial }}$ com la derivada parcial d'orde $n$ sobre el component $k$-ésimo del vector $x$, es definix el següent conjunt d'operadors fraccionales:

$O_{x,\alpha }^n(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)=\underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\},$

el complement del qual és:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)\ne \underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\text{ para al menos un }k\ge 1\}.$

Com a conseqüència, es definix el següent conjunt:

$O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^n(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).$

Extensió a funcions vectorials

Per a una funció $h:\Omega \subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$, el conjunt es definix com:

${}_m{O}_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\{o_x^{\alpha }:o_x^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h{]}_k)\mathrm{\forall }k\le m\},$

a on $[h{]}_k:\Omega \subset {ℝ}^m\to ℝ$ denota el $k$-ésimo component de la funció $h$.

Conjunt ${}_m{S}_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)$ d'operadors fraccionales

Siga ${\mathbb{N}}_0$ el conjunt $\mathbb{N}\cup \{0\}$. Si $\gamma \in {\mathbb{N}}_0^m$ i $x\in {ℝ}^m$, llavors és possible definir la següent notació multi-índex:

$\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}\gamma !:=\prod _{k=1}^m[\gamma {]}_k!,& |\gamma |:=\sum _{k=1}^m[\gamma {]}_k,& x^{\gamma }:=\prod _{k=1}^m[x{]}_k^{[\gamma {]}_k}\end{array}\\ \frac{{\partial }^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}:=\frac{{\partial }^{[\gamma {]}_1}}{\partial [x{]}_1}\frac{{\partial }^{[\gamma {]}_2}}{\partial [x{]}_2}\cdots \frac{{\partial }^{[\gamma {]}_m}}{\partial [x{]}_m}\end{array}.$

Llavors, considerant una funció $h:\Omega \subset {ℝ}^m\to ℝ$ i l'operador fraccional:

$s_x^{\alpha \gamma }\left(o_x^{\alpha }\right):=o_1^{\alpha [\gamma {]}_1}{o}_2^{\alpha [\gamma {]}_2}\cdots o_m^{\alpha [\gamma {]}_m},$

es definix el següent conjunt d'operadors fraccionales:

$S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\{s_x^{\alpha \gamma }=s_x^{\alpha \gamma }\left(o_x^{\alpha }\right):\mathrm{\exists }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)\text{ con }{o}_x^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^s(h)\mathrm{\forall }s\le n^2\text{ y }\underset{\alpha \to k}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=\frac{{\partial }^{k\gamma }}{\partial x^{k\gamma }}h(x)\mathrm{\forall }\alpha ,|\gamma |\le n\}.$

D'a on s'obtenen els següents resultats:

$\text{Si }{s}_x^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)\Rightarrow \{\begin{array}{c}\underset{\alpha \to 0}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=o_1^0{o}_2^0\cdots o_m^{0}h(x)=h(x)\\ \underset{\alpha \to 1}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=o_1^{[\gamma {]}_1}{o}_2^{[\gamma {]}_2}\cdots o_m^{[\gamma {]}_m}h(x)=\frac{{\partial }^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}h(x)\mathrm{\forall }|\gamma |\le n\\ \underset{\alpha \to q}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=o_1^{q[\gamma {]}_1}{o}_2^{q[\gamma {]}_2}\cdots o_m^{q[\gamma {]}_m}h(x)=\frac{{\partial }^{q\gamma }}{\partial x^{q\gamma }}h(x)\mathrm{\forall }q|\gamma |\le qn\\ \underset{\alpha \to n}{\lim }{s}_x^{\alpha \gamma }h(x)=o_1^{n[\gamma {]}_1}{o}_2^{n[\gamma {]}_2}\cdots o_m^{n[\gamma {]}_m}h(x)=\frac{{\partial }^{n\gamma }}{\partial x^{n\gamma }}h(x)\mathrm{\forall }n|\gamma |\le n^2\end{array}.$

Com a conseqüència, considerant una funció $h:\Omega \subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$, es definix el següent conjunt d'operadors fraccionales:

${}_m{S}_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\{s_x^{\alpha \gamma }:s_x^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }([h{]}_k)\mathrm{\forall }k\le m\}.$

Conjunt ${}_m{T}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(a,h)$ d'operadors fraccionales

Considerant una funció $h:\Omega \subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$ i el següent conjunt d'operadors fraccionales:

${}_m{S}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(h):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{}_m{S}_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h).$

Llavors, prenent una bola $B(a;\delta )\subset \Omega$, és possible definir el següent conjunt d'operadors fraccionales:

${}_m{T}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(a,h):=\{t_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}=t_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}\left(s_x^{\alpha \gamma }\right):s_x^{\alpha \gamma }\in {}_m{S}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(h)\text{ y }{t}_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}h(x):=\sum _{|\gamma |=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\gamma !}{\hat{e}}_j{s}_x^{\alpha \gamma }[h{]}_j(a)(x-a{)}^{\gamma }\},$

el qual permet generalisar l'expansió en série de Taylor d'una funció vectorial en notació multi-índex. Com a conseqüència, és possible obtindre el següent resultat:

$\text{Si }{t}_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}\in {}_m{T}_{x,\alpha }^{\mathrm{\infty },\gamma }(a,h)\Rightarrow \{\begin{array}{cc}{t}_x^{\alpha ,\mathrm{\infty }}h(x)=& {\hat{e}}_j[h{]}_j(a)+\sum _{|\gamma |=1}\frac{1}{\gamma !}{\hat{e}}_j{s}_x^{\alpha \gamma }[h{]}_j(a)(x-a{)}^{\gamma }+\sum _{|\gamma |=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\gamma !}{\hat{e}}_j{s}_x^{\alpha \gamma }[h{]}_j(a)(x-a{)}^{\gamma }\\ =& h(a)+\sum _{k=1}^n{\hat{e}}_j{o}_k^{\alpha }[h{]}_j(a){[(x-a)]}_k+\sum _{|\gamma |=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\gamma !}{\hat{e}}_j{s}_x^{\alpha \gamma }[h{]}_j(a)(x-a{)}^{\gamma }\end{array}.$

Vore també

• Série matemàtica
• Série de Laurent

Bibliografia adicional

• (1970).«Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables».Dover Publications.New York:
• (1996).«Calculus and Analytic Geometry».Addison Wesley.
• (1998).«Advanced Engineering Mathematics».Prentice Hall.

Enllaços externs

• Série de Taylor en MathWorld.
• Madhava of Sangamagramma

• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method [1] archivat en Wayback Machine."
• Another Taylor visualisation - where you ca choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
• Cinderella 2: Taylor expansion
• Taylor series
• Inverse trigonometric functions Taylor series