Radián

El radián (símbol: rad) és una unitat de l'amplitut d'ànguls. El radián medix l'àngul presentat com a central a una circumferència i la seua mida és igual a la raó entre la llongitut del arc que comprén de dita circumferència i la llongitut del ràdio; és dir, medix la cantitat de voltes que la llongitut del ràdio traça eixe determinat arc en la circumferència. Fins a 1995 va tindre la categoria d'unitat suplementària en el Sistema Internacional d'Unitats, junt en l'estereoradiant. A partir d'eixe any, i fins al moment present, abdós unitats figuren en la categoria d'unitats derivades. El radián es definix en el SI com una unitat adimensional en 1 rad = 1.

Radián

Esta unitat s'utilisa primordialmente en física, càlcul infinitesimal, trigonometria, goniometría, etc.

Un àngul d'1 radián correspon a l'arc de circumferència la llongitut de la qual és la seua ràdio. Una circumferència completa correspon a 2π radianes.

Definició

Un radián és l'unitat de mida d'un àngul en vèrtiç en el centre d'un círcul els costats del qual són tallats per l'arc de la circumferència, i que ademés dit arc té una llongitut igual a la del radi.

L'àngul format per dos radis d'una circumferència, medit en radianes, és igual a la llongitut de l'arc que delimiten els radis dividida entre el radi; és dir, θ = s/r, a on θ és l'àngul, s és la llongitut d'arc, i r és el radi. Per tant, el àngul complet, ${\theta }_{\text{circunferencia}}$, que subtiende una circumferència de ràdio r, medit en radianes, és:

${\theta }_{\text{circunferencia}}=\frac{L_{\text{circunferencia}}}{r}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi \text{rad}$

De forma més general, la magnitut en radianes d'un àngul subtendido és igual al cocient entre la llongitut de l'arc i el radi del círcul; és dir, $\theta =\frac{s}{r}$, a on θ és l'àngul subtendido en radianes, s és la llongitut de l'arc i r és el radi. Un àngul recte és exactament $\frac{\pi }{2}$ radianes.

L'àngul de rotació (360°) corresponent a una revolució completa és la llongitut de la circumferència dividida pel radi, que és $\frac{2\pi r}{r}$, o 2π. Per lo tant, 2π radianes és igual a 360 graus.

La relació 2π rad = 360° es pot derivar usant la fòrmula per a llongitut d'arc, ${\ell }_{\text{arc}}=2\pi r\left(\frac{\theta }{360^{\circ }}\right)$. Ya que el radián és la mida d'un àngul subtendido per un arc de llongitut igual al radi de la circumferència, $1=2\pi \left(\frac{1\text{ rad}}{360^{\circ }}\right)$. Açò es pot simplificar encara més a $1=\frac{2\pi \text{ rad}}{360^{\circ }}$. Multiplicant abdós costats per 360° s'obté 360° = 2π rad.

Utilitat

El radián és una unitat sumament útil per a medir ànguls, ya que simplifica els càlculs, ya que els més comuns s'expressen per mig de senzills múltiples o divisores de π.

Símbol de l'unitat

l'Oficina Internacional de Peses i Mides i l'Organisació Internacional de Normalisació especifiquen rad com a símbol del radián. Símbols alternatius que estaven en us en 1909 són ^c (la lletra c en superíndex, per "mida circular"), la lletra r, o ^R (la lletra R en superíndex), pero estes variants s'utilisen en poca freqüència, ya que poden confondre's en un símbol de grau (°) o un radi (r). Aixina, un àngul d'1,2 radianes s'escriuria hui com 1,2 rad; les notacions arcaiques podrien incloure 1,2 r, 1,2 rad, 1,2^c, o 1,2^R.

En l'escritura matemàtica, a sovint s'omet el símbol "rad". Quan es quantifica un àngul en absència de qualsevol símbol, s'assumixen els radianes, i quan es vol dir graus, s'utilisa el símbol de grau. Plantilla:Char.