Magnitut (matemàtica)

La magnitut és una medida assignada per a cada u dels objectes d'un conjunt mesurable, formats per objectes matemàtics. La noció de magnitut concebuda aixina pot abstraure's d'objectes del món físic o propietats físiques que són susceptibles de ser medits. La magnitut física es definix com una propietat d'un fenomen, cos o substància que s'expressa per mig d'un número i una referència.

Les mides de les propietats físiques solen representar-se per mig de número real o per mig de n-tuplas de número real. Per a que estes mides siguen interpretables, és necessari expressar-les junt en una unitat de mida adequada. Una característica fonamental de moltes magnituts físiques és que permeten establir comparacions en térmens de “major que”, “igual que” o “menor que”.

Una magnitut física empleada per a descriure un procés natural és el resultat d'una medició realisada en un instrument de mida apropiat. En contrast, les magnituts matemàtiques poden definir-se de manera abstracta, sense necessitat d'associar-les a una medició física.

Els grecs distinguien entre varis tipos de magnituts, incloent:

• Fraccions positives.
• Segments segons la seua llongitut.
• Polígons segons la seua superfície.
• Sòlits segons el seu volum.
• Ànguls segons la seua magnitut angular.

Varen provar que els dos primers tipos no podien ser iguals, o siquiera sistemes isomorfos de magnitut. No varen considerar que les magnituts negatives anaren significatives, i el concepte es va utilisar principalment en contexts en els que zero era el valor més baix.

Assignació d'una mida

La noció abstracta de magnitut implica l'existència d'una funció real que assignar a una colecció de "objectes mesurables" $ℳ$ un valor numèric real, ya que els número real són un cos totalment ordenat en operacions compatibles en dita ordenació. És dir, per a cada magnitut M existix una funció:

En les mides usades associades a conceptes mètrics, els objectes mesurables són subconjunts d'un espai mètric o alternativament un espai de mida, no sent en general qualsevol subconjunt de dit espai (es requerixen certes condicions de regularitat per a que la magnitut d'un objecte estiga ben definida).

Números

Artícul principal → Valor absolut.

La magnitut de qualsevol número x es denomina usualment la seua "valor absolut" o "mòdul", indicat per |x|.

Número real

El valor absolut d'un número real r es definix com:

|r| = r, si r ≥ 0

|r| = -r, si r < 0.

Es pot considerar com la distància numèrica entre el zero i la recta numèrica real. Per eixemple, el valor absolut tant de 7 com de -7 és 7. En este cas el conjunt d'objectes mesurables en la funció (*) és $ℳ=ℝ$ i la magnitut associada al valor absolut és la funció: $f_{\text{abs}}:ℝ\to {ℝ}^{+}$ donada per $r\mapsto |r|=\text{abs}(r)$

Número complejo

Un número complex z pot visualisar-se com la posició del punt P en un espai euclídeo bidimensional, cridat pla complex.

El valor absolut de z pot considerar-se com la distància des de l'orige de tal espai fins a P. La fòrmula per al valor absolut de z és similar a la de la norma euclidea de l'espai bidimensional:

a on ℜ(z) i ℑ(z) són respectivament la part real i la part imaginària de z i z* és la seua complex conjugat. Per eixemple, el mòdul de −3 + 4i és 5. En este cas es té $ℳ=ℂ$ i $f_{\text{mod}}:ℂ\to {ℝ}^{+}$ donada per $z\mapsto \sqrt{z^{*}z}=|z|$.

Vore també

• Magnitut adimensional
• Cantitat

Referències

Bibliografia

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
• Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
• A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Paris, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.