Cantitat

Una cantitat (del vocablo llatí quantĭtas, -ātis, i este del grec ποσότης —posótēs— que es referix a ‘quant’ o ‘cuán gran’ en térmens de grandea, extensió, cantitat, magnitut i tamany) és un valor, component o número, susceptible d'aument o disminució, que s'obté d'una mida o operació d'un o varis ents que poden ser medits de manera exacta o aproximada. La cantitat és una propietat mesurable que admet graus de comparació i representa o be un contaje del número d'elements d'un conjunt, o be el resultat d'una medició física d'una magnitut. Aixina les cantitats poden ser comparades en térmens de «més», «menys» o «igual» (o no ser comparables), i generalment poden ser representades per diferents sistemes d'unitats (la massa es pot medir en quilograms o en onces). Un gran número de propietats poden ser representades per cantitats escalares, encara que algunes magnituts físiques requerixen l'us de cantitats vectorials més complexes. Una cantitat escalar és el valor numèric que resulta d'una medició (d'una magnitut) que s'expressa en números acompanyat per unitats, de la forma següent:

Magnitut = Cantitat x Unitat

Per eixemple: 20 kg, 1 m, 60 s, són resultat de medir les magnituts massa, llongitut i temps. Igualment certes magnituts físiques com la cantitat de moviment, o la velocitat requerixen ser representades per objectes matemàtics com vectores que no són simplement valors numèrics.

Tipos de cantitats

Tradicionalment, s'han dividit les cantitats en dos grups les referides al contaje (magnituts discretes) i les referides a la comparació en una escala contínua (magnituts contínues). Les cantitats són representacions formals de propietats físiques que deuen satisfer algunes condicions generals com:

• Ser escalables, donada una cantitat deu ser possible tindre una cantitat superior a ella.
• Tindre comparabilidad (total o parcial), si existix comparabilidad total, donades dos cantitats que es referixen a la mateixa propietat deuria ser possible decidir si una és major que l'atra o si les dos són iguals.

La escalabilidad freqüentment és una conseqüència de la aditividad: donada una magnitut extensiva i una propietat mesurable, en dividir un sistema en dos subsistema s'obtenen dos cantitats associades a la propietat mesurable, de tal manera que la seua suma és la cantitat associada al sistema original sense dividir.

Escalabilidad

Les cantitats en general admeten sempre escalabilidad: donada una magnitut sempre és possible imaginar una cantitat major que ella. Açò diferencia als resultats d'una medició o contaje d'atres índexs numèrics com els percentages o les provabilitats (que per definició deuen ser inferiors al 100%).

Comparabilidad

Les magnituts de tipo contaje i les magnituts contínues escalares té estructura de conjunt totalment ordenat, aixina donades dos llongituts sempre serà possible dir com de les dos llongituts és major que l'atra. Atres magnituts com la velocitat vectorial admeten solament orde parcial, per eixemple està clar que una velocitat de ${𝐯}_1=(20,10,0)$ representa una velocitat menor que una velocitat ${𝐯}_2=(40,20,0)$. Pero si ara es considera la velocitat ${𝐯}_3=(20,-10,0)$ no pot dir-se si esta velocitat és major o menor que ${𝐯}_1$ (lo únic que pot dir-se és que són velocitats vectorials diferents). Açò succeïx perque en un espai vectorial no pot definir-se una relació d'orde total compatible en la suma.

Cantitats contínues i discretes

Encara que totes les magnituts semblen escalables, aixina i tot pot establir-se una diferència sobre la possibilitat de construir o no una escala contínua entre dos valors qualssevol associats a una mateixa propietat mesurable. Les cantitats de tipo contaje són representades per un número natural positiu i representa el número d'elements en un cert conjunt. Pel contrari les magnituts de tipo continu, es referixen a la comparació de propietats físiques en patrons i entre dos resultats R₁ < R₂ sempre pot trobar-se una medició R3 tal que R₁ < R₃ < R₂.

Usualment les cantitats discretes es representen per valors numèrics que són número entero de $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Z}$. Mentres que les cantitats contínues es representen per números no necessàriament sancers de $\mathbb{Q}$ o $ℝ$. En la pràctica una mida directa en una precisió finita sempre serà un contaje, que convenientment reescalado donarà com resultat un número racional. No obstant, per a mides indirectes calculades a partir de medicions directes freqüentment es porta a terme una operació matemàtica sobre les mides directes, i llavors el resultat no sempre és un número racional, per eixa raó resulta convenient usar representacions sobre els número real $ℝ$. Pero en certs casos, com en electrotècnia pot traure's profit de representar algunes magnituts no com a número real, sino com número complejo $ℂ$. I inclús operacionalmente poden considerar-se conjunts numèrics més complexos, en alguns àmbits.

Unitats

Les cantitats associades a un simple contaje d'elements freqüentment no usen un tipo d'unitats (encara que a voltes es poden usar unitats per a clarificar el seu valor). En canvi les cantitats contínues obtingudes inicialment comparant experimentalment en una escala necessiten especificar l'escala. Una escala definirà sempre implícitament un sistema d'unitats, d'ahí que les magnituts contínues per a poder ser comparades o interpretades requerixquen especificar el valor de l'unitat associada a l'escala de medició/comparació.

Estructura quantitativa

Les cantitats contínues posseïx una estructura particular que va ser caracterisada explícitament per primera volta per O. Hölder (1901) per mig d'un conjunt d'axiomas que definixen les característiques com a identitats i relacions entre magnituts.

En ciències naturals, l'estructura quantitativa està subjecta a les condicions de l'investigació empírica i no pot assumir-se que existixquen a priori per a una certa propietat. Algunes característiques fonamentals senyalades per Hölder per a les cantitats associades a propietats mesurables són:

• Una característica fonamental de les cantitats contínues és que les relacions d'igualtat o no igualeu, poden establir-se per comparació entre magnituts, a diferència les diferències de calitat (que poden incloure varis aspectes no comparables).

• Una atra propietat fonamental és la aditividad, que pot incloure concatenació, com el fet d'afegir dos llongituts A i B per a obtindre una tercera llongitut A+B. Note's, no obstant, que la aditividad no es restringix a propietats extensives sino que pot aplicar-se a experiments i procediments referides a propietats intensives també, encara que en este cas pot resultar més complicat verificar la aditividad.
• Una atra característica important és la de continuïtat (per a magnituts que no són de tipo contaje)
• Una atra propietat fonamental és la que apareix en la teoria de la medició conjunta, desenrollada independentment per l'economiste francés Gérard Debreu (1960) i el sicòlec nortamericà R. Duncan Lluïx conjuntament en l'estadístic John Tukey (1964).

Vore també

• Elements d'Àlgebra

Referències

Bibliografia

• Aristotle, Logic (Organon): Categories, in Great Books of the Western World, V.1. ed. per Adler, M.J., Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago (1990)
• Aristotle, Physical Treatises: Physics, in Great Books of the Western World, V.1, ed. per Adler, M.J., Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago (1990)
• Aristotle, Metaphysics, in Great Books of the Western World, V.1, ed. per Adler, M.J., Encyclopædia Britannica, Inc., Chicago (1990)
• Franklin, J. (2014). "Quantity and number", en Neo-Aristotelian Perspectives in Metaphysics, ed. D.D. Novotny i L. Novak, New York: Routledge, 221-44.
• Hölder, O. (1901). Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass. Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematische-Physicke Klasse, 53, 1-64.
• Klein, J. (1968). Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge. Mass: MIT Press.
• Laycock, H. (2006). Words without Objects: Oxford, Clarendon Press. Oxfordscholarship.com
• Michell, J. (1993). The origins of the representational theory of measurement: Helmholtz, Hölder, and Russell. Studies in History and Philosophy of Science, 24, 185-206.
• Michell, J. (1999). Measurement in Psychology. Cambridge: Cambridge University Press.
• Michell, J. & Ernst, C. (1996). The axioms of quantity and the theory of measurement: translated from Part I of Otto Hölder's German text "Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass". Journal of Mathematical Psychology, 40, 235-252.
• Newton, I. (1728/1967). Universal Arithmetic: Or, a Treatise of Arithmetical Composition and Resolution. In D.T. Whiteside (Ed.), The mathematical Works of Isaac Newton, Vol. 2 (pp. 3–134). New York: Johnson Reprint Corp.

• Postigo (1960). Matemàtiques (en és), Barcelona, Espanya: Biblioteca Hispania, Casa editorial Ramón Sopena S.A..

• Wallis, J. Mathesis universalis (citat en Klein, 1968).

Enllaços externs

Archiu:Wiktionary-logo-v2.svg Cantitat en el Viccionari.