Cantitat de moviment

Vore també: Transferència de moment

Eixemple de colisió elàstica (m₁ = 1000 kg, o₁ = 5 m/s, m₂ = 0,1 kg, o₂ = 0 m/s) d'un objecte molt pesat contra un atre molt llauger; existix una chicoteta transferència de moment al més llauger que ix disparat a major velocitat, mentres que el primer cos a penes sofrix una llaugera deceleración v₁ = 4,999 m/s, v₂ = 9,999 m/s.

La cantitat de moviment, moment llineal, ímpetu, momentum o simplement moment,^[1] és una magnitut física derivada de tipo vectorial que descriu el moviment d'un cos en qualsevol teoria mecànica. En mecànica clàssica, la cantitat de moviment es definix com el producte de la massa del cos i el seu velocitat en un instant determinat. Històricament, el concepte es remonta a Galileo Galilei. En la seua obra Discursos i demostracions matemàtiques entorn a dos noves ciències, usa el terme italià impeto, mentres que Isaac Newton en Principia Mathematica usa el terme llatí motus^[2] (moviment) i vis motrix (força motriu).

La definició concreta de cantitat de moviment diferix d'una formulació mecànica a una atra: en mecànica newtoniana es definix per a una partícula simplement com el producte de la seua massa per la velocitat, en la mecànica lagrangiana o hamiltoniana s'admeten formes més complicades en sistemes de coordenades no cartesianes, en la teoria de la relativitat la definició és més complexa aun cuando s'usen sistemes inerciales, i en mecànica quàntica la seua definició requerix l'us d'operadors autoadjuntos definits sobre un espai vectorial de dimensió infinita.

En mecànica newtoniana, la forma més usual d'introduir la cantitat de moviment és com el producte de la massa (kg) d'un cos material per la seua velocitat (m/s), per a després analisar la seua relació en les lleis de Newton. No obstant, despuix del desenroll de la física moderna, esta manera d'operar no va resultar ser la més convenient per a abordar esta magnitut derivada. Una diferència important és que en esta definició newtoniana solament es té en conte el concepte inherent a la magnitut, que resulta ser una propietat de qualsevol ent físic en o sense massa, necessària per a descriure les interaccions. Els models actuals consideren que no solament els cossos másicos posseïxen cantitat de moviment, també resulta ser un atribut dels camps i els fotons.

La cantitat de moviment obedix a una llei de conservació, lo que significa que la cantitat de moviment total de tot sistema tancat (o siga un que no és afectat per forces exteriors, i les forces internes de les quals no són disipadoras) no pot ser canviada i permaneix constant en el temps.

En l'enfocament geomètric de la mecànica relativista la definició és alguna cosa diferent. Ademés, el concepte de moment llineal pot definir-se per a entitats físiques com els fotons o els camps electromagnètics, que carixen de massa en repòs.

Cantitat de moviment en mecànica newtoniana

Històricament, el concepte de cantitat de moviment va sorgir en el context de la mecànica newtoniana en estreta relació en el concepte de velocitat i el de massa. En mecànica newtoniana es definix la cantitat de moviment llineal com el producte de la massa per la seua velocitat:

$𝐩 = m 𝐯$

L'idea intuïtiva despuix d'esta definició està en que la "cantitat de moviment" depenia tant de la massa com de la velocitat: si s'imagina una mosca i un camió, abdós movent-se a 40 km/h, l'experiència quotidiana diu que la mosca és fàcil de detindre en la mà mentres que el camió no, encara que els dos vagen a la mateixa velocitat. Esta intuïció va dur a definir una magnitut que fora proporcional tant a la massa de l'objecte mòvil com a la seua velocitat.

De fet, la segona llei de newton que s'ensenya habitualment (força igual a massa multiplicada per acceleració) és un resultat de la formulació del moment llineal en el cas particular que la massa siga constant, puix en realitat:

$𝐅 = \frac{d 𝐩}{d t}$

Conservació

En un sistema mecànic de partícules aïllat (tancat) en el qual les forças externes són zero, es conserva el moment llineal total del sistema. Açò implica, per eixemple, que per a un conjunt de N partícules en massa $m_{i}$ i velocitat ${\dot{𝐫}}_{i}$ es complirà en tot instant que:

\sum_{i = 1}^{N} m_{i} {\dot{𝐫}}_{i} = constante

Demostració matemàtica

Per la tercera llei de Newton, en un sistema mecànic de partícules aïllat, en qualsevol interacció hi ha un parell de forces d'acció i reacció situades en la mateixa direcció en igual magnitut i sentits oposts. Llavors:

$\sum_{i = 1}^{N} 𝖥_{i} = 0$ Com la força és el producte de la massa de la partícula per la seua acceleració: multiplicar massa per acceleració= $\sum_{i = 1}^{N} m_{i} a_{i} = 0$

El temps és el mateix per a totes les partícules, i l'acceleració de cada partícula depén de la seua velocitat (la seua diferència) i del temps, per això es pot extraure factor comú el temps com a denominador i després multiplicar per este en abdós membres de l'equació, eliminant aixina el temps com a variable:

$\sum_{i = 1}^{N} m_{i} Δ v_{i} = 0$

Reemplaçant la diferència de velocitat per velocitat final sostreta per velocitat inicial:

$\sum_{i = 1}^{N} m_{i} v_{1 i} - \sum_{i = 1}^{N} m_{i} v_{0 i} = 0$

$\sum_{i = 1}^{N} m_{i} v_{1 i} = \sum_{i = 1}^{N} m_{i} v_{0 i}$

En conclusió:

$\sum_{i = 1}^{N} P_{1 i} = \sum_{i = 1}^{N} P_{0 i}$

Cantitat de moviment en mecànica lagrangiana i hamiltoniana

En les formulació més abstractes de la mecànica clàssica, com la mecànica lagrangiana i la mecànica hamiltoniana, ademés del moment llineal i del moment angular es poden definir atres moments, cridats moments generalisats o moments conjugats, associats a qualsevol tipo de coordenada generalisada. Es generalisa aixina la noció de moment.

Si es té un sistema mecànic definit pel seu lagrangiano L definit en térmens de les coordenades generalisades (q₁,q₂, …,q_N) i les velocitats generalisades, llavors el moment conjugat de la coordenada q_i ve dau per:^[3]

Quan la coordenada q_i és una de les coordenades d'un sistema de coordenades cartesianes, el moment conjugat coincidix en una de les components del moment llineal, i, quan la coordenada generalisada representa una coordenada angular o la mida d'un àngul, el moment conjugat corresponent resulta ser una de les components del moment angular.

Conservació

En mecànica lagrangiana «si el lagrangiano no depén explícitament d'alguna de les coordenades generalisades llavors existix un moment generalisat que es manté constant a lo llarc del temps», resultant per tant eixa cantitat una integral del moviment, és dir, existix una llei de conservació per a dita magnitut. Posem per cas que un sistema mecànic té un lagrangiano en n graus de llibertat i la seua lagrangiano no depén d'una d'elles. Per eixemple, la primera d'elles, és dir:

L : U \subset ℝ^{2 n} \to ℝ, (𝐪, \dot{𝐪}) \mapsto L (𝐪, \dot{𝐪}) = \sum_{i, j} {\dot{q}}_{i} \frac{g_{i j} (q_{2}, ..., q_{n})}{2} {\dot{q}}_{j} - V (q_{2}, ..., q_{n})

En eixe cas, en virtut de les equacions de Euler-Lagrange existix una magnitut conservada $p_{1}$ que ve donada per:

0 = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{1}} = \frac{d}{d t} (\sum_{j} g_{i j} {\dot{q}}_{j}) - 0 \Rightarrow p_{1} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{1}} = \sum_{j} g_{i j} {\dot{q}}_{j} = constante

Si el conjunt de coordenades generalisades usat és cartesiano llavors el tensor mètric és la delta de Kronecker $g_{i j} (q_{2}, ..., q_{n}) = δ_{i j}$ i la cantitat $p_{1}$ coincidix en el moment llineal en la direcció donada per la primera coordenada.

En mecànica hamiltoniana existix una forma molt senzilla per a determinar si una funció que depén de les coordenades i moments generalisats dona lloc o no a una llei de conservació en térmens del paréntesis de Poisson. Per a determinar eixa expressió calculem la derivada a lo llarc de la trayectòria d'una magnitut:

\frac{d f (𝐩, 𝐪)}{d t} = \sum_{i} (\frac{\partial f}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial f}{\partial p_{i}} {\dot{p}}_{i}) = \sum_{i} (\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}) = {f, H}_{p q}

A partir d'eixa expressió podem vore que per a «un moment generalisat es conservarà constant en el temps, si i solament si, el hamiltoniano no depén explícitament de la coordenada generalisada conjugada» com es pot

0 = \frac{d p_{j}}{d t} = {p_{j}, H}_{p q} = \sum_{i} (0 \cdot \frac{\partial H}{\partial p_{i}} + δ_{i j} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}) = \frac{\partial H}{\partial q_{j}}

Referències

↑ Vore la 6.ª definició de: «moment | Diccionari de la llengua espanyola» (en és). «Diccionari de la llengua espanyola» - Edició del Tricentenario. Consultat el 2022-07-20.
↑ En l'época clàssica mōtĭo i mōles teues eren sinònims abdós derivats del verp mŏvēre 'moure'.
↑ Landau i Lifshitz, 1991, Mecànica, p. 6

Este artícul conté una traducció derivada de «Cantidad de movimiento» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Vore la 6.ª definició de: «moment | Diccionari de la llengua espanyola» (en és). «Diccionari de la llengua espanyola» - Edició del Tricentenario. Consultat el 2022-07-20.

[2] En l'época clàssica mōtĭo i mōles teues eren sinònims abdós derivats del verp mŏvēre 'moure'.

[3] Landau i Lifshitz, 1991, Mecànica, p. 6

[1]

[2]

[3]