Operador hermítico

Un operador hermítico (també cridat operador hermitiano, en honor a Charles Hermite) definit sobre un espai de Hilbert és un operador llineal que, sobre un cert domini, coincidix en el seu propi operador adjunt. Una propietat important d'estos operadors és que els seus autovalorés són sempre número real. Quan el domini d'un operador hermítico i el del seu operador adjunt coincidixen totalment, es diu llavors que és un operador autoadjunto. En un espai de Hilbert de dimensió finita tot operador hermítico és ademés autoadjunto.

Dimensió finita

En espais de Hilbert de dimensió finita tot operador hermítico és ademés autoadjunto. Ademés en dimensió finita un operador hermítico fixada una base ortogonal ve dau per una matriu hermítica i diagonalisable.

Una matriu és hermítica o autoadjunta quan és igual a la seua pròpia adjunta i és antihermítica quan és igual a la seua trasponer conjugada multiplicada per -1.

Sobre espais vectorials reals, les matrius hermíticas coincidixen en les matrius simètriques i les antihermíticas en les antisimètriques. Estos operadors es poden representar com una matriu diagonal (en una base ortonormal) de número real. Este concepte es pot generalisar a un espai de Hilbert de dimensió arbitrària.

Dimensió infinita

En espais de dimensió infinita, com els espais de Hilbert que apareixen en anàlisis funcional i en mecànica quàntica, un operador pot ser hermítico pero no ser autoadjunto (encara que tots els operadors autoadjuntos són hermíticos). En general, per a un operador $A$ definit un domini dens es pot definir el seu operador adjunt $A^{†}$, i pot demostrar-se que els dominis sempre satisfaran $D(A)\subseteq D(A^{†})$. Un operador és hermítico si para $x\in D(A)$ es té $Ax=A^{†}x$ i serà ademés autoadjunto si $D(A)=D(A^{†})$.

L'interés en els operadors en mecànica quàntica es deu a que en la formulació de Dirac-von Neumann, els possibles valors dels observables físics o magnituts físiques, són precisament els autovalorés de certs operadors que representen la magnitut física. Aixina que el que un operador puga ser interpretat com una magnitut físicament mesurable requerix que les seues autovalores siguen número real, condició que queda garantisada si els observables es representen per operadors hermíticos.

Vore també

• Espai de Hilbert
• Hamiltoniano (mecànica quàntica)
• Teoria de Sturm-Liouville

Referències

Bibliografia

• Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.