Hamiltoniano (mecànica quàntica)

Archiu:รูปฮามิลตัน.jpg

Retrat de Sir William Rowan Hamilton.

El Hamiltoniano H té dos significats distints, encara que relacionats. En mecànica clàssica, és una funció que descriu l'estat d'un sistema mecànic en térmens de variables posició i moment, i és la base per a la reformulación de la mecànica clàssica coneguda com mecànica hamiltoniana. En mecànica quàntica, l'operador Hamiltoniano és el corresponent al observable "energia".

Descripció quàntica d'un sistema

En el formalisme de la mecànica quàntica, el estat físic del sistema pot ser caracterisat per un vector en un espai de Hilbert complex, separable i de dimensió infinita (la qual cosa permet expressar qualsevol estat físic per una seqüència contable de vectores, ponderats per les seues amplitut de provabilitatés respectives). Les magnituts físiques observables són descrites, llavors, per operadors autoadjuntos que actuen sobre este vector (o sobre estos vectores). Els resultats possibles d'una mida sobre un estat i les provabilitats en les que apareixen poden calcular-se a partir del vector que representa l'estat i els vectores propis de l'operador autoadjunto que representa la magnitut.

Hamiltoniano quàntic

El hamiltoniano quàntic H és l'observable que representa l'energia total del sistema (formalment es definix com un operador autoadjunto definit sobre un domini dens en l'espai de Hilbert del sistema). Els possibles valors de l'energia d'un sistema físic vénen daus pels valors propis de l'operador hamiltoniano:

a on $\hat{H}$ és l'operador hamiltoniano, $|\psi ⟩$ és un estat propi de $\hat{H}$ i $E_{\psi }$ és l'energia d'eixe estat.

Propietats

Per les propietats dels operadors autoadjuntos:

1. Els vectores propis de $\hat{H}$, que satisfan (1), formen una base ortogonal per a l'espai de Hilbert.
2. L'espectre de nivells d'energia permesos per al sistema ve dau pel conjunt de valors propis de $\hat{H}$, {$E_{\psi }$} que verifiquen l'equació que hi ha sobre estes llínees.
3. L'energia del sistema sempre pren valors reals, raó per la qual la mecànica quàntica impon que per a que $\hat{H}$ descriga al sistema deu ser un operador hermítico.
4. Depenent del sistema físic, l'espectre d'energies pot ser discret o continu. Es dona el cas de que alguns sistemes presenten un espectre continu en un interval d'energies, i discret en un atre. Un eixemple és el pou finito d'energia potencial, que admet estats lligats en energies discretes i negatives, i estats lliures en energies contínues i positives, això succeïx per eixemple en el àtom hidrogenoide.
5. Depenent del sistema físic, l'operador hamiltoniano pot no estar definit sobretot l'espai. Si no existix llímit per al valor màxim de l'energia d'un sistema llavors l'operador hamiltoniano serà un operador no-acotat i en general no estarà definit en tot l'espai de Hilbert de tot el sistema sino només en un domini dens d'ell.

Evolució temporal

L'evolució temporal dels estats quàntics pot obtindre's a partir del Hamiltoniano a través de la equació de Schrödinger. Si $|\Psi (t)⟩$ és l'estat del sistema a temps t, tenim:

a on $\hslash$ és la constant reduïda de Planck. Donat l'estat a un temps inicial (t = 0), podem la per a obtindre l'estat en qualsevol temps subsegüent. Si H ademés d'operador autoadjunto no depén explícitament del temps podem trobar una família d'operadors unitaris definits sobre l'espai de Hilbert que dona una solució formal de l'anterior equació:

A on l'exponencial de l'operador Hamiltoniano es calcula usualment per mig de série de potències. Es pot demostrar que és un operador unitari, i és la forma comuna de operador d'evolució temporal o propagador.

Caràcter autoadjunto

Un requeriment matemàticament important per a un hamiltoniano és que este siga un operador autoadjunto, no obstant, normalment demostrar que un determinat operador és autoadjunto és un problema matemàtic no trivial. Per eixa raó durant molt temps es desconeixia si el hamiltoniano atòmic per eixemple era realment un operador autoadjunto, encara que l'evidència sugeria que efectivament els àtoms de molts electrons eren equiparables al àtom hidrogenoide fins a mediats de XX no es va dispondre d'una prova matemàtica rigorosa. En els anys 1960 i 1970 es va fer gran cantitat de treball en eixe sentit.

El hamiltoniano per a una partícula lliure dau per:

Definit sobre ${ℒ}^2({ℝ}^3)$, pero el hamiltoniano rellevant en un bon número de problemes inclou un potencial sent de la forma:

Si el potencial és una funció contínua i acotada llavors el hamiltoniano anterior és autoadjunto, acotat i per tant definit sobretot ${ℒ}^2({ℝ}^3)$ i en este cas es diu que el potencial és un destorbament acotat de ${\hat{H}}_0$. No obstant, molts problemes físics importants com els sistemes atòmics tenen potencials no acotats inferiormente. Encara que Kato (1966) va conseguir demostrar el següent resultat:

Si el potencial $V(𝐱)$ pot escriure's com la suma de dos funcions reals, una de les quals és contínua i acotada i l'atra és una funció de ${ℒ}^2({ℝ}^3)$, llavors l'operador definit per:

és autoadjunto i acotat inferiormente.

La teorema anterior s'aplica en particular al àtom hidrogenoide, per al qual $V(𝐱)=-\kappa Z{e}^2/\Vert 𝐱\Vert$ Pero ademés Kato va conseguir estendre el resultat anterior a un àtom en n-electrons en interacció en $Z\ge n$ per al qual:

El primer terme representa l'interacció de cada electró en el núcleu atòmic, i el segon contabilisa la repulsió electroestática entre els diferents parells d'electrons. En este cas les funcions d'ona $\psi \in {ℒ}^2({ℝ}^{3n})$

Eixemples

Oscilador harmònic

Artícul principal: Oscilador harmònic quàntic.

En el problema de l'oscilador harmònic monodimensional, una partícula de massa $m$ està somesa a un potencial quadràtic $V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$. En mecànica clàssica $k=m{\omega }^2$ es denomina constant de força o constant elàstica, i depén de la massa $m$ de la partícula i de la freqüència angular $\omega$.

El Hamiltoniano quàntic de la partícula és:

a on $\hat{x}$ és el operador posició i $\hat{p}$ és l'operador moment llineal $(\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx})$. El primer terme representa l'energia cinètica de la partícula, mentres que el segon representa la seua energia potencial.

Àtom d'hidrogen

La versió més simple del model atòmic de Schrödinger ampra un hamiltoniano basat en el hamiltoniano d'una partícula en un camp de Coulomb:

Eixe model va predir per primera volta els nivells energètics en una gran precisió. No obstant, per a donar conte de la estructura fina és necessari afegir correccions relativistes i d'espin, resultant un hamiltoniano més complicat dau per:

A on:

$V(𝐫),𝐀(𝐫)$, són el potencial escalar elèctric i el potencial vectorial magnètic; si el camp magnètic fora nul, este últim vector seria zero.

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫)$, el camp magnètic.

$\mu ,\sigma$, la massa reduïda i l'espin de l'electró.

$\hslash ,c$, la constant de Planck racionalisada i la velocitat de la llum.

En concret, és necessari tindre en conte en els càlculs:

• L'interacció de l'espin electrònic en el camp magnètic del núcleu atòmic. (tercer terme)
• Els efectes relativistes per la variació de la massa aparent en la velocitat. (quart terme)
• El terme de Darwin, que no té un anàlec clàssic. (quint terme)
• L'interacció espin-òrbita. (sext terme)

Referències

Bibliografia

• Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.