Observable

En física, un observable és tota propietat de l'estat d'un sistema que pot ser determinada ("observada") per alguna seqüència d'operacions físiques. Estes operacions poden incloure, per eixemple, el sometre al sistema a diversos camps electromagnètics i la llectura de valors en un dispositiu (medició). Per a tot observable podem diferenciar una qualitat i una cantitat, i esta distinció resulta d'especial interés en la física quàntica.

Observables en física clàssica

En els sistemes governats per la mecànica clàssica, qualsevol valor observable experimentalment està relacionat per una funció matemàtica de variables reals en el conjunt d'estats possibles del sistema. En paraules planes, podem obtindre, en sistemes molt similars, una variació contínua de cantitat per a cada qualitat.

En mecànica clàssica els observables matemàticament són funcions de les coordenades de posició i les velocitats (alternativament els moments conjugats). Per açò un observable en mecànica clàssica pot entendre's com una funció o aplicació definida sobre l'espai fásico del sistema. Gràcies a esta noció, pot entendre's la relació entre els observables de la mecànica clàssica i la mecànica quàntica, aixina el "quadrat" de la funció d'ona és anàlec a una distribució de provabilitat sobre l'espai fásico del sistema. La noció d'observable quàntic que a primera vista sembla poc intuïtiva s'aclarix notablement si pensem que es corresponen intutivamente en l'acció sobre distribucions de provabilitat de l'espai de fases del sistema.

Medicions de diferents observadors

En física clàssica, poden definir-se diferents observadorés caracterisats per la seua posició en l'espai i el tipo de coordenades usades per a referir les magnituts físiques vectorials i tensoriales. Pel seu diferent ubicació i orientació cada u dels diferents observadors farà mides diferents del mateix fenomen. No obstant, l'objectivitat de la realitat física, comporta que dites mides deuen ser relacionables, per mig de lleis de transformació ben definides. En mecànica clàssica no-relativista dites transformacions de coordenades que relacionen les mides de diferents observadors vénen donades pel grup de Galileo, mentres que en mecànica relativista vénen donades pel grup de Poincaré (grup de Lorentz ampliat en els desplaçaments).

Observables en física quàntica

En mecànica quàntica, en canvi, la relació entre els estats d'un sistema i els valors d'un observable és més sotil, i precisa d'una miqueta d'àlgebra llineal per a la seua explicació.

En la formulació matemàtica de la mecànica quàntica, els estats són vectores no nuls en un espai de Hilbert V (en el que es considera que dos vectores especifiquen el mateix estat si i solament si són múltiples escalares entre sí). Matemàticament els observables en mecànica quàntica es representen per operadors llineals autoadjuntos en V. Concretament, els operadors corresponen a la qualitat de l'observable, mentres que els valors propis, que formen l'espectre de cada operador corresponen als valors possibles d'una medició d'eixa qualitat.

En la mecànica quàntica, els processos de mida comporten fenomens que contradiuen l'intuïció habitual, basada en els processos de la mecànica clàssica. Açò du ocasionalment a equívocs sobre la pròpia naturalea de la mecànica quàntica. Específicament, si un sistema està en un estat descrit per una funció d'ones, el procés de medició afecta a l'estat de forma no-determinista, pero tractable estadísticament. En particular, despuix d'una mida, la descripció de l'estat del sistema per una única funció d'ones pot destruir-se i quedar reemplaçat per un conjunt estadístic de funcions. La naturalea irreversible de les operacions de mida en física quàntica és cridat a voltes problema de la mida o problema del colapse de la funció d'ona. La descripció d'una mida és equivalent, des del punt de vista matemàtic, a l'oferida per l'interpretació d'estats relatius, en la que el sistema original es veu com un subsistema d'un major, i l'estat del sistema original es veu com la traça parcial de l'estat d'eixe sistema major.

Moment llineal

Considerem l'espai de Hilbert d'una partícula lliure $\mathscr{H}=L^2({ℝ}^3)$ i considerem el moment llineal (en direcció x) que ve dau pel operador autoadjunto:

l'espectre d'este operador és purament continu i coincidix en l'eix real. Per a vore açò basta considerar els vectores aproximadament propis normalisats donats per:

La relació anterior implica que el operador resolvent:

No pot ser acotat, per a cap $\lambda \in ℝ$ i per tant tot $ℝ$ forma partix de l'espectre continu. Físicament això significa que per al sistema considerat, una partícula lliure, el moment llineal de la partícula pot assumir qualsevol valor real.

Posició

En el mateix espai de Hilbert anterior podem considerar el cridat operador posició (respecte a un sistema d'eixos cartesianos) que dona els possibles valors d'ubicació d'una partícula. La naturalea supostament contínua de l'espai en mecànica quàntica convencional du a que dit operador pot assumir qualsevol valor real i per tant a tindre un espectre continu. Escomencem en la definició de dit operador autoadjunto i del seu domini:

Pot vore's que de la mateixa manera que l'operador moment, el seu espectre és purament continu i coincidix en l'eix real, és dir, és possible trobar una partícula lliure en qualsevol posició de l'espai. Açò pot vore's usant la successió de funcions:

A on ${𝐫}_0=(x_0,y_0,z_0)$ és un vector qualsevol. Açò significa que qualsevol la provabilitat de trobar qualsevol partícula en l'entorn pot estar arbitrariamente prop d'1, és dir, la partícula es troba en certea en cert entorn de qualsevol punt.

Energia (hamiltoniano)

Artícul principal → Hamiltoniano (mecànica quàntica).

Per a consultar eixemples d'operadors hamiltonianos de sistemes físics importants vore: Eixemples de hamiltonianos. En general una partícula lligada, que solament pot moure's en certa regió finita de l'espai, podrà tindre estats sol en certs valors d'energia pertanyents a l'espectre discret. Mentres que les partícules no lligades en general podran tindre qualsevol valor de l'energia per damunt d'un cert llindar.

Espin

L'observable associat al espin és un cas d'observable interessant, perque matemàticament es realisa per mig d'un operador que actua sobre un espai de dimensió finita. Per eixa raó dit operador pot representar-se per una matriu. Per eixemple les matrius de Pauli implementen els corresponents operadors per a partícules d'espin 1/2.

L'espai de Hilbert d'una partícula tridimensional que es mou en un espai tridimensional i que té espin n/2, es pot representar com producte tensorial d'espais de Hilbert d'un espai tipo L² i espai vectorial de dimensió 2n+1.

Medicions de diferents observadors

Els observables en sentit físic també obedixen les lleis de transformació que relacionen observacions fetes per distints observadorés en distints marcs de referència. Estes transformacions són automorfismes de l'espai d'estats, açò és, transformacions biyectivas que preserven alguna propietat matemàtica. En el cas de la mecànica quàntica, els automorfismes són les transformacions llineals unitàries o anti-unitàries de l'espai de Hilbert V. En la teoria de la relativitat especial, les matemàtiques dels marcs de referència són particularment simples, i de fet restringixen considerablement el conjunt d'observables en sentit físic.

Referències

Bibliografia

• S. Auyang, How is Quàntum Field Theory Possible, Oxford University Press, 1995.
• G. Mackey, Mathematical Foundations of Quàntum Mechanics, W. A. Benjamin, 1963.
• V. Varadarajan, The Geometry of Quàntum Mechanics vols 1 and 2, Springer-Verlag 1985.

Enllaços externs

• Valor dels pisos i la mida quàntica (divulgatiu)

Vore també

• Espectre d'un operador
• Hamiltoniano (mecànica quàntica)