Traça parcial

En l'àlgebra llineal i l'anàlisis funcional, la traça parcial és una generalisació de la traça. Mentres que la traça és una funció a valors escalares sobre operadors, la traça parcial és una funció operador-valorada. La traça parcial té usos en l'interpretació d'estats relatius (Many-worlds) de la mecànica quàntica.

Els detalls

Suponga's V, W són espais vectorials sobre un cos finit-dimensionals de dimensions m, n respectivament. La traça parcial Tr_V és una funció

$\mathrm{L}(V\otimes W)\ni T\mapsto {\mathrm{Tr}}_V(T)\in \mathrm{L}(V)$

Es definix com seguix: siga

$e_1,\dots ,e_m$

i

$f_1,\dots ,f_n$

bases per a V i W respectivament; llavors T té una representació matricial

$\{a_{k\ell ,ij}\}1\le k,i\le m,1\le \ell ,j\le n$

relatiu a la base

$e_k\otimes f_{\ell }$

de

$V\otimes W$.

Ara per als índexs k, i en el ranc 1,...,m, considere's la suma:

$b_{k,i}=\sum _{j=1}^n{a}_{kj,ij}.$

açò dona una matriu b_{k, i}. L'operador llineal associat en V és independent de l'elecció de bases i és per definició la traça parcial.

Per eixemple,

${\mathrm{Tr}}_W(R\otimes S)=R\mathrm{Tr}(S)\mathrm{\forall }R\in \mathrm{L}(V)\mathrm{\forall }S\in \mathrm{L}(W)$

l'operador de traça parcial pot ser caracterisat invariantemente com seguix: És l'únic operador llineal

${\mathrm{Tr}}_W:V\otimes W\to V$

tal que

${\mathrm{Tr}}_V(1_{V\otimes W})=\dim W{1}_V$

${\mathrm{Tr}}_V(T(1_V\otimes S))={\mathrm{Tr}}_V((1_V\otimes S)T)\mathrm{\forall }S\in \mathrm{L}(W)\mathrm{\forall }T\in \mathrm{L}(V\otimes W)$

Traça parcial per als operadors en els espais de Hilbert

La traça parcial es generalisa als operadors en els espais de Hilbert infinit dimensionals. Suponga's V, W són espais de Hilbert, i siga

$\{f_i{\}}_{i\in I}$

una base ortonormal per a W. Hi ha un isomorfisme isomètric

$\underset{\ell \in I}{⨁}(V\otimes ℂf_{\ell })\to V\otimes W$

Baix esta descomposició, qualsevol operador $T\in \mathrm{L}(V\otimes W)$ es pot mirar com a matriu infinita d'operadors en V

$\left[\begin{array}{ccccc}{T}_{11}& T_{12}& \dots & T_{1j}& \dots \\ T_{21}& T_{22}& \dots & T_{2j}& \dots \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ T_{k1}& T_{k2}& \dots & T_{kj}& \dots \\ ⋮& ⋮& & ⋮\end{array}\right]$

primer suponga's que T és un operador no negatiu. En este cas, totes les entrades diagonals de la matriu antedicha són operadors no negatius en V. Si la suma

$\sum _{\ell }{T}_{\ell \ell }$

convergix en la topología forta d'operadors de L(V), és independent de la base elegida de W. La traça parcial Tr_V(T) es definix com este operador. La traça parcial d'un operador autoadjunto està definida ssi les traces parcials de les parts positiva i negativa estan definides.

Computant la traça parcial

Suponga's que W té una base ortonormal, que denotem per la notació vectorial de ket com $\{|\ell ⟩{\}}_{\ell }$. Llavors

${\mathrm{Tr}}_V(\sum _{k,\ell }{T}_{k\ell }\otimes |k⟩⟨\ell |)=\sum _j{T}_{jj}$