Operador llineal acotat

Un operador llineal acotat o operador acotat és una aplicació llineal definida sobre un espai vectorial normado tal que la norma dels seus valors pot acotar-se. Més precisament, l'aplicació llineal $B:X⟶Y$ és un operador acotat si i solament sí:

Propietats dels operadors acotats

• En un espai vectorial normado de dimensió finita tot operador llineal és acotat. Per lo que el concepte d'operador acotat solament resulta interessant i no trivial en espais de dimensió no finita com els que apareixen en l'anàlisis funcional o la mecànica quàntica.
• Un operador acotat (en un espai de Banach) és una funció contínua entre espais vectorials. Trivialmente totes les aplicacions llineals entre espais vectorials de dimensió finita són contínues, no obstant, açò últim no és cert per a espais de dimensió infinita.
• l'espectre d'un operador acotat és un conjunt acotat.

Jerarquia d'operadors acotats

Existixen diversos subtipos d'operadors acotats, segons s'imponguen criteris més restrictius sobre les seues propietats. En particular en espais de dimensió infinita pot establir-se la següent seqüència d'inclusions pròpies:

En dimensió finita si un operador és acotat pertany a la classe d'operadors acotats llavors també pertany a qualsevol de les atres classes de dalt, per lo que la cadena anterior és trivial.

En lo que seguix considerarem solament espais de Banach o d'Hilbert.

Operadors compactes

Un operador A es diu compacte o absolutament continu si para tota successió acotada l'image de dita successió conté una subsucesión convergent. És dir:

Observe's que un operador compacte necessàriament és acotat. Si un operador no fora acotat podríem trobar una seqüència acotada que divergix en norma $\Vert A{\phi }_j\Vert \to \mathrm{\infty }$ i per tant seria impossible trobar una subsecuencia convergent, i per tant tampoc podria ser compacte.

Operadors Hilbert-Schmidt

Un operador de Hilbert–Schmidt (cridats aixina per David Hilbert i Erhard Schmidt) és un operador acotat A sobre un espai de Hilbert H la norma de la qual de Hilbert–Schmidt és finita, és dir:

a on

$\Vert \Vert$ és la norma de l'espai H

$\{e_n:n=0,1,2,\mathrm{...}\}$ és una base de Hilbert ortonormal per a H

Esta definició resulta independent de l'elecció de la base i per tant:

per a $A_{m,n}=⟨e_m,A{e}_n⟩$ i $\Vert A{\Vert }_2$ la norma de Schatten de $A$. En l'espai euclídeo $\Vert {\Vert }_{HS}$ es diu també norma de Frobenius.

El producte de dos operadors de Hilbert–Schmidt té una norma de traça finita; per tant si A i B són dos operadors de Hilbert-Schmidt, es pot definir el producte intern de Hilbert–Schmidt entre ells com:

Els operadors de Hilbert–Schmidt formen un ideal bilateral *-ideal en l'àlgebra de Banach formada pels operadors acotats de H. El conjunt dels operadors de Hilbert–Schmidt és tancat en la norma topològica si i solament si H és de dimensió finita. Els operadors de Hilbert-Schmidt d'un espai, també formen ells mateixos un espai de Hilbert i pot demostrar-se que existix una transformació naturalmete isomètrica i isomorfa entre eixe espai i el producte tensorial d'espais de Hilbert:

a on H* és l'espai dual topològic de H.

Operadors en traça

Artícul principal → Operador de classe de traça.

Un operador llineal acotat A definit sobre un espai de Hilbert separable H es diu de classe traça o de traça finita si per a alguna base ortonormal {i_k}_k de H la suma de térmens positius:

és finita. En eixe cas la suma:

és absolutament convergent i és independent de l'elecció de la base ortonormal. Este valor es denomina traça de A.

Bibliografia

• Robert D. Richmyer, Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, 1978.
• Lorenzo Abellanas i Alberto Galindo, Espais de Hilbert: Geometria, Operadors, Espectres, Eudema, Madrit, 1991.