Espai vectorial normado

Jerarquia d'espais matemàtics. Els espais vectorials normados són un superconjunto dels espais en producte intern i un subconjunt dels espais mètrics, que a la seua volta són un subconjunt dels espais topològics.

En matemàtica, un espai normado o espai vectorial normado és un espai vectorial en el que s'ha definit explícitament una norma vectorial. Podem senyalar els següents fets que ajuden a comprendre l'importància del concepte d'espai normado: En un espai euclídeo, la norma coincidix precisament en la llongitut del vector. Tot espai vectorial normado és un espai mètric en la distància induïda per la norma. Si l'espai vectorial és ademés complet es diu que és un espai de Banach. Note's que sobre un espai vectorial es poden definir diferents normes, la qual cosa dona lloc a diferents espais normados que tenen el mateix espai vectorial com a base de la construcció.

Definició

Un espai vectorial $V$ es diu que és normado si en ell es pot definir una norma:

Generalment es denotarà a $(V,\Vert \cdot \Vert )$ a l'espai vectorial normado i, quan la norma siga clara, simplement per $V$.

Observe's que la condició $\Vert x\Vert \ge 0\mathrm{\forall }x\in V$ (no negatividad) es deriva del restant, per lo que es podria eliminar. En efecte, $0=\Vert 0\Vert =\Vert x-x\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert -x\Vert =\Vert x\Vert +\Vert x\Vert =2\Vert x\Vert$, d'a on $\Vert x\Vert \ge 0$.

Eixemples

De dimensió finita

• $ℝ$

Els espais euclídeos ${ℝ}^n$ , estudiats en l'anàlisis clàssic. Les matrius quadrades d'orde n sobre $ℝ$: $M_n\left(ℝ\right)$

De dimensió infinita

• Tots els espais de Hilbert i, en particular, el conformat per totes les funcions de quadrat integrable sobre un interval $L^2([a,b])$ en la norma donada pel producte escalar $\Vert v\Vert =⟨v,v{⟩}^{1/2}$.
• L'espai de funcions contínues $f:\Omega \to ℝ$ sobre un espai topològic compacte en la norma del suprem: $\Vert v\Vert =\underset{x\in \Omega }{\max }|v(x)|$

Vore també

• Norma vectorial.
• Espai mètric.
• Espai de Hilbert.

Referències

Bibliografia

• Iribarren, Ignacio L.: Topología d'espais mètrics (1973) Editorial Limusa Wiley S.A. , primera edició , imprés en Mèxic
• Cotlar, Mischa und Cignoli, Roberto: Nocions d'espais normados (1967) Editorial Universitària de Bons aires, imprés en L'Argentina.