Espai vectorial topològic

Plantilla:Espai matemàtic Un espai vectorial topològic és un espai de punts que aúna l'estructura típica d'un espai vectorial convencional i d'un espai topològic, és dir, és un espai vectorial sobre el que s'ha definit una estructura topològica.

Provablement els eixemples més senzills són el pla euclídeo i l'espai euclídeo, en els que la topología es definix per mig de la distància euclídea. El conjunt de boles obertes consistents en el conjunt de punts que equidistan d'un dau menys d'una certa distància són una colecció de conjunts que permet construir la base de la topología. Ademés d'este eixemple, els espais normados com els espais de Hilbert o els espais de Sobolev són atres eixemples d'espais topològics més complicats (estos últims solen tindre dimensió infinita i s'usen en anàlisis funcional).

Definició

Un espai vectorial topològic és un espai vectorial $(E,+,\cdot )$ sobre un cos $k$, dotat d'una topología $\tau$ a on els punts són tancats i de tal manera que les aplicacions:

$\begin{array}{ccccc}+& :& E\times E& ⟶& E\\ & & (a,b)& ⟼& c=+(a,b)=a+b\end{array}$

i

$\begin{array}{ccccc}\cdot & :& K\times E& ⟶& E\\ & & (\alpha ,a)& ⟼& d=\cdot (\alpha ,a)=\alpha \cdot a\end{array}$

són contínues (usant en els productes cartesianos les respectives topología producte) respecte a la topología $\tau$.

Visió general

En matemàtiques, un espai vectorial topològic (també cridat espai topològic llineal i comunament abreviat com EVT o i.v.t.) és un dels elements bàsics de les estructures investigades en anàlisis funcional.

Un espai vectorial topològic és un tipo d'espai vectorial que també és un espai topològic, en la propietat de que les operacions en l'espai vectorial (sumixca de vectores i multiplicació escalar) també són funcions contínues. Tal topología es diu i cada espai vectorial topològic té un estructura topològica uniforme, lo que permet establir les nocions de convergència uniforme i de completitud. Alguns autors també requerixen que l'espai en qüestió siga un espai de Hausdorff (encara que este artícul no ho fa). Una de les categories de EVT més estudiades són els espais localment convexos. Este artícul se centra en els EVT que no són necessàriament localment convexos. l'espai de Banach, l'espai de Hilbert i l'espai de Sóbolev són atres eixemples ben coneguts de EVT.

Molts espais vectorials topològics són espais de funcions, o d'operadors llineals que actuen sobre espais vectorials topològics, i la topología a sovint es definix per a capturar una noció particular de convergència de seqüències de funcions.

En este artícul, se supondrà que el cos escalar d'un espai vectorial topològic és el dels número complejo $ℂ$ o el dels número real $ℝ,$ a menos que s'indique clarament lo contrari.