Base (topología)

En matemàtiques, una base β d'un espai topològic X en topología T és una colecció d'oberts de T que verifica que tot obert de la topología T pot expressar-se com a unió d'elements de β.

Diem que la base genera la topología T i als elements de β els cridem oberts bàsics. Les bases són de gran utilitat, puix moltes propietats de les topología poden reduir-se a afirmacions sobre una base que genere dita topología.

Una família arbitrària de subconjunts no formarà, a priori, una base de cap topología; per a fer-ho deurà reunir una série de requisits.

Existix un modo alternatiu de generar una topología a partir d'una família arbitrària de subconjunts: usant interseccions finitas, ademés de les unions arbitràries. En eixe cas, la família de subconjunts rep el nom de subbase.

Definició alternativa de base

Diem que β és una base si $B\in \beta :p\in B\subset U$ i $B$ és un obert en la topología.

Requisits per a que una família de subconjunts forme una base

Ya comentem que una família arbitrària de subconjunts no formarà una base. Serà interessant dispondre d'un criteri per a decidir si la formen o no.

Una família β no buida de subconjunts de X formarà la base d'alguna topología si es complix:

1. $\cup \{B:B\in \beta \}=X$.
2. L'intersecció $B\cap B^{\prime }$ és unió d'elements de β.