Distància euclidiana

Distancia en un sistema de coordenades cartesianas.

En matemàtiques, la distància euclidiana o euclídea, és la distància "ordinària" entre dos punts d'un espai euclídeo, la qual es deduïx a partir del teorema de Pitágoras.

Per eixemple, en un espai bidimensional, la distància euclidiana entre dos punts P₁ i P₂, de coordenades cartesianas (x₁, i₁) i (x₂, i₂) respectivament, és:

Definició

En general, la distància euclidiana entre els punts $P=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$ i $Q=(q_1,q_2,\dots ,q_n)$, del espai euclídeo n-dimensional, es definix com:

Note's que esta definició depén de l'existència de coordenades cartesianas sobre la varietat diferenciable $({ℝ}^n,\cdot )$, encara que en un espai euclídeo poden definir-se sistemes de coordenades més generals, sempre és possible definir un conjunt global de coordenades cartesianas (a diferència d'una superfície curva a on només existixen localment).

Distància euclidiana entre dos conjunts

Donats dos conjunts S i S' de ${ℝ}^n$ es definix la distància entre S i S' com el mínim del conjunt format per les distàncies d'un punt de S a un punt de S'.

Eixemple de càlcul de distància euclidiana

S'explica a continuació un método per a calcular la distància entre dos subvariedades llineals afins de ${ℝ}^n$

Siga S=(1, 2, 3, 4, 5)+<(0, 1, 0, 0, 1), (1, 2, -1, 2, 0)> i siga S'=(0, 1, 3, 2, 5)+<(1, -1, 0, 0, 1)>

Prendrem la matriu M les files de la qual són els directors de S i S' i per últim la diferència entre sengles punts de S i S'.

0	1	0	0	1
1	2	-1	2	0
1	-1	0	0	1
1	1	0	2	0

  Es realisa l'eliminació Gaussiana per files en la matriu M·M^t

2	2	0	1
2	10	-1	7
0	-1	3	0
1	7	0	6

A Fila2 li restem la Fila1

A Fila4 per 2 li restem la Fila1

Recorda que al final caldrà dividir entre 2

2	2	0	1
0	8	-1	6
0	-1	3	0
0	12	0	11

A Fila3 per 8 li vàrem sumar la Fila2

A Fila4 per 2 li restem la Fila2 per 3

Recorda que al final caldrà dividir entre 2

2	2	0	1
0	8	-1	6
0	0	23	6
0	0	3	4

 A Fila4 per 23 li restem la Fila3 per 3

Recorda que al final caldrà dividir entre 23

2	2	0	1
0	8	-1	6
0	0	23	6
0	0	0	74

La distància entre S i S' és la raïl quadrada de 74 dividit entre (23·2·2):

d(S, S') = $\sqrt{\frac{74}{23\cdot 2\cdot 2}}=\sqrt{\frac{37}{46}}$

En Google Play Store es pot vore la app "distància entre subvariedades llineals afins" que aplica este método a qualsevol parell de subvariedades de ${ℝ}^n$