Eliminació de Gauss-Jordan

En àlgebra llineal, la eliminació de Gauss-Jordan, cridada aixina en honor de Carl Friedrich Gauss i Wilhelm Jordan, és un algoritme que s'usa per a determinar l'inversa d'una matriu i les soluciones d'un sistema d'equacions llineals. Un sistema d'equacions es resol pel método de Gauss quan s'obtenen les seues solucions per mig de la reducció del sistema donat a un atre equivalent en el que cada equació té una incògnita menys que l'anterior. El método de Gauss transforma la matriu de coeficients en una matriu triangular superior. El método de Gauss-Jordan continua el procés de transformació fins a obtindre una matriu diagonal.

Eliminació de Gauss-Jordan

Per a realisar la reducció de files en una matriu, s'utilisa una seqüència d'operacions elementals de fila per a modificar la matriu fins que el cantó inferior esquerra de la matriu s'òmpliga de zeros, tant com siga possible. Hi ha tres tipos d'operacions elementals de fila:

• Intercanviar dos files,
• Multiplicar una fila per un número distint de zero,
• Sumar un múltiple d'una fila a una atra fila. (La resta pot realisar-se multiplicant una fila per -1 i sumant el resultat a una atra fila).

Utilisant estes operacions, una matriu sempre es pot transformar en una matriu triangular superior, i de fet en una que estiga en forma escalonada. Una volta que tots els coeficients principals (l'entrada més a l'esquerra distinta de zero en cada fila) són 1, i cada columna que conté un coeficient principal té zeros en atres llocs, es diu que la matriu està en forma escalonada reduïda. Esta forma final és única; en atres paraules, és independent de la seqüència d'operacions de fila utilisades. Per eixemple, en la següent seqüència d'operacions de fila (a on dos operacions elementals en files diferents es realisen en el primer i tercer pas), la tercera i quarta matrius són les que estan en forma escalonada, i la matriu final és l'única forma escalonada reduïda.

$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 9\\ 1& 1& -1& 1\\ 3& 11& 5& 35\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 9\\ 0& -2& -2& -8\\ 0& 2& 2& 8\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 9\\ 0& -2& -2& -8\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{cccc}1& 0& -2& -3\\ 0& 1& 1& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

L'us d'operacions de fila per a convertir una matriu en forma escalonada reduïda es denomina a voltes eliminació de Gauss-Jordan. En este cas, el terme eliminació de Gauss es referix al procés fins que ha alcançat la seua forma triangular superior, o forma escalonada (no reduïda). Per raons computacionals, quan es resolen sistemes d'equacions llineals, a voltes és preferible detindre les operacions de fila ans que la matriu estiga completament reduïda.

Antecedents

Alguns casos especials del método -encara que presentats sense demostració- ya eren coneguts pels matemàtics chinencs entorn a l'any 179 de la nostra era.

El método d'eliminació de Gauss-Jordan apareix en el capítul huit de l'important text matemàtic chinenc Jiuzhang suanshu o Els nou capítuls sobre l'art matemàtic. El seu us s'ilustra en díhuit problemes, de dos a cinc equacions cada u. La primera referència al llibre per este títul data del 179 DC, pero algunes de les seues parts varen ser escrites tan pronte com al voltant del 150 a. C., en enguany va ser senyalat per Liu Hui en el III.

Definicions i eixemple d'algoritme

El procés de reducció de files fa us d'operacions elementals de files, i es pot dividir en dos parts. La primera part (a voltes cridada eliminació cap a avant) reduïx un sistema donat a la forma escalonada de files, a partir de la qual es pot dir si no hi ha solucions, una solució única, o infinites solucions. La segona part (a voltes cridada substitució cap a arrere) continua utilisant operacions de fila fins que es troba la solució; en atres paraules, posa la matriu en forma escalonada reduïda.

Un atre punt de vista, que resulta molt útil per a analisar l'algoritme, és que la reducció de files produïx una descomposició matricial de la matriu original. Les operacions elementals de fila poden vore's com la multiplicació a l'esquerra de la matriu original per matrius elementals. Alternativament, una seqüència d'operacions elementals que reduïx una sola fila pot vore's com la multiplicació per una matriu de Frobenius. Llavors, la primera part de l'algoritme calcula una descomposició LU, mentres que la segona part escriu la matriu original com el producte d'una matriu invertible determinada de forma única i una matriu escalonada de files reduïda determinada de forma única.

Operacions de fila

Hi ha tres tipos d'operacions elementals de fila que es poden realisar en les files d'una matriu ya indicats anteriorment:

1. Intercanviar les posicions de dos files.
2. Multiplicar una fila per un escalar distint de zero.
3. Afegir a una fila un múltiple escalar d'una atra.

Si la matriu està associada a un sistema d'equacions llineals, llavors estes operacions no canvien el conjunt solució. Per lo tant, si l'objectiu és resoldre un sistema d'equacions llineals, l'us d'estes operacions de fila podria facilitar el problema.

Vore també

• Àlgebra elemental
• Àlgebra llineal

Bibliografia

• (1989).«An Introduction to Numerical Analysis».John Wiley & Sons.New York:.
• (2006).«Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications».Wiley-Interscience..
• (1999).«A Contextual History of Mathematics».Prentice Hall..
• (1988).«Linear Least Squares Computations».Marcel Dekker..
• «Undergraduate Convexity: From Fourier and Motzkin to Kuhn and Tucker»..
• (1996).«Matrix Computations».Johns Hopkins..
• (2002).«Accuracy and Stability of Numerical Algorithms».SIAM..
• (2004).«A History of Mathematics, Brief Version».Addison-Wesley..
• «Numerical Methods with Applications: Chapter 04.06 Gaussian Elimination». University of South Florida (2010).

• (2001).«Schaum's outline of theory and problems of linear algebra».McGraw-Hill.New York:

69–80..

• (2007).«Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing».Cambridge University Press.Consultat el 17 de febrer de 2023.