Matriu invertible

Archiu:3 planos secantes.png

Una interpretació espacial d'una matriu invisible 3x3 és la de 3 plans secantes només en l'orige. Les coordenades de la matriu serien els coeficients de les tres variables espacials en una base donada.

En matemàtiques, en particular en àlgebra llineal, una matriu quadrada $A$ d'orde $n$ es diu que és invertible, no singular, no degenerada o regular si existix una atra matriu quadrada d'orde $n$, cridada matriu inversa de $A$ i denotada per $A^{-1}$ si $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$, a on $I_n$ és la matriu identitat d'orde $n$ i el producte utilisat és el producte de matrius usual.

Una matriu quadrada no invertible es diu que és singular o degenerada. Una matriu és singular si i només si la seua determinant és nul. La matriu singular $A$ es caracterisa perque la seua multiplicació per la matriu columna $X$ és igual a zero per a algun $X$ no nul. El conjunt d'estos vectores (i al subespacio vectorial format per ells) es dirà ker$A$ (de kernel, núcleu en alemà), per a una matriu invertible ker$A$ és el vector nul.

La inversió de matrius és el procés de trobar la matriu inversa d'una matriu donada.

Eixemples

Matriu de dos files (matriu adjunta)

Donada una matriu $A$ de tamany $2\times 2$ en determinant no nul llavors

$A^{-1}={\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

i esta està definida sempre i quan $ad-bc\ne 0$ en $a,b,c,d\in ℝ$. Aixina per eixemple l'inversa de la matriu

$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right]\mapsto {\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right],$

ya que

$\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Matriu de tres files

Donada una matriu $A$ de tamany $3\times 3$ en determinant no nul:

$A^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{\det (A)}{\left[\begin{array}{ccc}A& B& C\\ D& E& F\\ G& H& I\end{array}\right]}^T=\frac{1}{\det (A)}\left[\begin{array}{ccc}A& D& G\\ B& E& H\\ C& F& I\end{array}\right]$

a on es definixen

$\begin{array}{ccc}A=(ei-fh)& D=-(bi-ch)& G=(bf-ce)\\ B=-(di-fg)& E=(ai-cg)& H=-(af-cd)\\ C=(dh-eg)& F=-(ah-bg)& I=(ae-bd)\end{array}$

Propietats de la Matriu Inversa

Siga $A\in {ℝ}^{n\times n}$ una matriu de ranc màxim La matriu inversa de $A$ és única.

• Si $B\in {ℝ}^{n\times n}$ i $C\in {ℝ}^{n\times n}$ llavors la matriu inversa del producte $BC$ és

${\left(BC\right)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}$

• Si la matriu $A$ és invertible, també ho és la seua transpuesta, i l'invers del seu transpuesta és la transpuesta de la seua inversa, és dir

${\left(A^T\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^T$

• I, evidentment:

$((A^{-1}{)}^{-1})=A$

• Una matriu en coeficients en els reals és invertible si i només si el determinant d'és distint de zero. Ademés l'inversa satisfà l'igualtat:

$A^{-1}=\frac{1}{\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|}\mathrm{adj}(A)$

a on $\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|$ és el determinant de $A$ i $\mathrm{adj}(A)$ és la matriu d'adjunts de $A$, entesa com a la matriu de cofactores trasponer. (Vore l'explicació de la diferent manera d'entendre el terme adjunt en l'artícul matriu d'adjunts).

• El conjunt de matrius de $n\times n$ en components sobre el cos $𝐊$ que admeten inversa, en el producte de matrius, té una estructura isomorfa al grup llineal $\text{GL}(n,𝐊)$ d'orde $n$. En este grup l'operació d'inversa és un automorfisme $(\cdot {)}^{-1}:\text{GL}(n,𝐊)\to \text{GL}(n,𝐊)$.

Demostració de l'unicitat de l'inversa

Supongam que $B$ i $C$ són inverses de $A$

Multiplicant abdós relacions per $C$

De modo que $B=C$ i es prova que l'inversa és única.

Demostració del criteri de invertibilidad de les matrius quadrades

Es provarà la doble implicació.

Suficiència $(\Rightarrow )$

Supongam que existix $B$ tal que $AB=BA=I$. Llavors en aplicar la funció determinant s'obté

$\det \left(AB\right)=\det \left(BA\right)=\det \left(I\right).$

Utilisant la propietat multiplicativa del determinant i sabent que $\det (I)=1$ tenim que

$\det \left(A\right)\det \left(B\right)=1,$

per lo que deduïm que $\det (A)$ és distint de zero.

Necessitat $(\Leftarrow )$

Supongam que el determinant de $A$ és distint de zero. Siga $a_{ij}$ l'element ij de la matriu $A$ i siga $A_{ij}$ la matriu $A$ sense la fila $i$ i la columna $j$ (comunament coneguda com $j$-ésimo menor de A). Llavors tenim que

$\det (A)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ij}\det (A_{ij}).$

Ademés, si $k\ne j$, llavors podem deduir que

$\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{ik}\det (A_{ij})=0,$

puix la part esquerra de la relació és el determinant de $A$ en la columna $j$ substituïda per la columna $k$ i, de nou per propietats del determinant, sabem que una matriu en dos files iguals té determinant zero.

De les dos equacions anteriors podem obtindre

${\delta }_{jk}\det \left(A\right)=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}\det \left(A_{ij}\right)a_{ik}.$

a on ${\delta }_{jk}$ és la delta de Kronecker.

Per tant, sabent que $(I{)}_{ij}={\delta }_{ij}$ tenim que

$\det \left(A\right)I=(\text{adj}(A))A,$

és dir, que $A$ té inversa per l'esquerra

$\frac{{(\text{adj}(A))}^T}{\det \left(A\right)}.$

Com ${(\text{adj}(A))}^T=\text{adj}\left(A^T\right)$, llavors $A^T$ també té inversa per l'esquerra que és

$\frac{{(\text{adj}(A^T))}^T}{\det \left(A^T\right)}=\frac{\text{adj}(A)}{\det \left(A\right)}.$

Llavors

$\frac{\text{adj}(A)}{\det \left(A\right)}{A}^T=I,$

després, aplicant la transpuesta

$A\frac{{(\text{adj}(A))}^T}{\det \left(A\right)}=I,$

que és lo que es volia demostrar.

Vore també

• Matriu involutiva