Resolució d'equacions

En matemàtica, la resolució d'una equació és el procediment de càlcul per a trobar els valors (números, funcions, conjunts, etc.) que complixen la condició indicada com una igualtat (una equació). Estos valors se solen denominar raïls de l'equació quan un costat de dita igualtat equival a zero prèviament de trobar dits valors. La resolució de multiplicacions polinòmiques, o algebraiques, juga un paper important en el naiximent i posterior desenroll del àlgebra. La branca de les matemàtiques que les estudia és la teoria d'equacions.^[1]

<o>Per a poder resoldre equacions es necessita rebujar les incògnites</o>

Una equació comprén expressions en variables indefinides, o incògnites, que deuen ser substituïdes per valors de forma tal que l'igualtat siga certa. Per a caracterisar les solucions d'una equació s'imponen restriccions sobre les incògnites. En general, es demana que pertanyguen a un conjunt numèric específic.

La resolució de multiplicacions llineals, quadràtiques, cúbiques i cuárticas per mig de factorización de raïls és prou senzilla quan les raïls són racionals o reals; també hi ha fòrmules que proporcionen les solucions. No obstant, no hi ha una fòrmula general en térmens de raïls per a les equacions de quint grau sobre els racionals; per mig d'un número finito de sumes, restes, multiplicacions, divisions i #extracció de raïls. Açò ho va provar per primera volta el teorema d'Abel-Ruffini, publicat en 1824, que va ser una de les primeres aplicacions de la teoria de grups en l'àlgebra. Este resultat també es complix per a equacions de major grau.

Una equació pot resoldre's numèricament o simbòlicament. Resoldre una equació numèricament significa que només s'admeten números com a solucions. Resoldre una equació simbòlicament significa que es poden utilisar expressions per a representar les solucions.

Per eixemple, l'equació $x + i = 2 x - 1$ es resol per a l'incògnita $x$ per mig de l'expressió $x = i + 1$ , perque substituint $i + 1$ per $x$ en l'equació resulta $(i + 1) + i = 2(i + 1) - 1$ , una afirmació verdadera. També és possible prendre la variable $i$ com l'incògnita, i llavors l'equació es resol en $i = x - 1$ . O $x$ i $i$ poden ser tractades com a incògnites, i llavors hi ha moltes solucions a l'equació; una solució simbòlica és $(x, i) = (a + 1, a)$ , a on la variable $a$ pot prendre qualsevol valor. Instanciando una solució simbòlica en números específics s'obté una solució numèrica; per eixemple, $a = 0$ dona $(x; i) = (1; 0)$ (és dir, $x = 1, i = 0$ ), i $a = 1$ dona $(x, i) = (2; 1)$ .

La distinció entre variables conegudes i variables desconegudes es fa generalment en l'enunciat del problema, per mig de frases com "una equació en $x$ i $i$ ", o "resoldre per a $x$ i $i$ ", que indiquen les incògnites, ací $x$ i $i$ . No obstant, és comú reservar $x$ , $i$ , $z$ , ... per a denotar les incògnites, i utilisar $a$ , $b$ , $c$ , ... per a denotar les variables conegudes, que a sovint es diuen paràmetros. Est és típicament el cas quan es considera equació polinòmicas, tals com equació quadràticas. No obstant, per a alguns problemes, totes les variables poden assumir qualsevol paper.

Depenent del context, resoldre una equació pot consistir en trobar qualsevol solució (trobar una única solució és suficient), totes les solucions, o una solució que satisfaça més propietats, com pertànyer a un interval donat. Quan la tasca consistix en trobar la solució millor segons algun criteri, es tracta d'un problema d'optimisació. La resolució d'un problema d'optimisació no sol denominar-se "resolució d'equacions", ya que, per lo general, els métodos de resolució partixen d'una solució concreta per a trobar una solució millor, i repetixen el procés fins a trobar finalment la millor solució.

Descripció general

Una forma general d'una equació és

f (x_{1}, \dots, x_{n}) = c,

a on $f$ és una funció, $x 1, ..., x n$ són les incògnites, i $c$ és una constant. Les seues solucions són els elements de la image inversa

f^{- 1} (c) = {(a_{1}, \dots, a_{n}) \in D ∣ f (a_{1}, \dots, a_{n}) = c},

a on $D$ és el domain de la funció $f$ . El conjunt de solucions pot ser el conjunt buit (no hi ha solucions), un singleton (hi ha exactament una solució), finito o infinit (hi ha infinites solucions).

Per eixemple, una equació com

3 x + 2 y = 21 z,

en incògnites $x, i$ i $z$ , pot posar-se en la forma anterior restant $21 z$ a abdós costats de l'equació, per a obtindre

3 x + 2 y - 21 z = 0

En este cas particular no hi ha només una solució, sino un conjunt infinit de solucions, que poden escriure's usant notació constructora de conjunts com

{(x; y; z) ∣ 3 x + 2 y - 21 z = 0} .

Una solució particular és $x = 0, i = 0, z = 0$ . Atres dos solucions són $x = 3, i = 6, z = 1$ , i $x = 8, i = 9, z = 2$ . Existix un únic pla en el espai tridimensional que passa pels tres punts en estes coordenades, i este pla és el conjunt de tots els punts les coordenades dels quals són solucions de l'equació.

Definició d'equació

Artícul principal → Equació.

Donada una funció f : A → B i un b en B, és dir, un element del codominio de f.

La igualtat f(x) = b és una equació.

En l'equació donada, x es denomina incògnita.

Un eixemple d'equació és el següent, prenent

es té l'equació en variable natural

$3 x - 2 = 1.$

L'estudi de les equacions depén de les característiques dels conjunts i l'aplicació; per eixemple, en el cas de les equacions diferencials, els elements del conjunt $A$ sò funciones i l'aplicació $f$ deu incloure alguna de les derivades de l'argument. En les equacions matriciales, l'incògnita és una matriu.

La definició que s'ha donat inclou les igualtats de la forma $g (x) = h (x)$ . Si « $+$ » denota la suma de funcions, llavors $(B, +)$ és un grup. Basta definir l'aplicació $f (x) = g (x) + ( - h (x) )$ , en $- h$ l'invers de $h$ sobre la suma, per a transformar l'igualtat en una equació $f (x) = 0$ en b = 0.

Solucions d'una equació

Artícul principal → Conjunt de solucions (matemàtiques).

El conjunt solució és aquell que conté tots els valors determinats que complixen en l'equació, i estos valors són denominats solucions. Per eixemple, l'equació

$3 x - 2 = 1$

té a $𝒮 = {1}$ com la seua conjunt solució, en 1 com a única solució de l'equació.

En general, donada $f : A \to B$ una funció, i $f (x) = b$ l'equació que determina.

El conjunt $𝒮 = {a_{1}, a_{2}, \dots}$ de valors de A és el conjunt solució si es complix $f (a_{i}) = b$ , per als $a_{i}$ pertanyents a $𝒮$ .

El conjunt de solucions pot ser

buit (no hi ha solucions),
unitari (existix exactament una solució),
finito (existix un número finito de solucions) o
infinit.

Eixemples

Si x és un número natural, la equació llineal 3x+1 = 5x–3 té com a solució única x = 2. És dir, el conjunt solució {2} és unitari.

L'equació x² = –1 no té solució si es considera a x un número real. Açò s'expressa dient que el conjunt solució és {}, en el sentit de que no existix cap número real positiu que resol l'equació. Pot ampliar-se el conjunt sobre el qual es considera a x al dels número complejo, en que el seu case x² = –1 té com a conjunt solució {i, -i}, a on i és la unitat imaginària. No hi ha cap valor de x que satisfà l'equació x = x+1. Açò és independent del conjunt sobre el qual està definida la variable x. L'equació x = x és vàlida per a qualsevol valor de x. Este tipo d'igualtats es denominen identitats. L'equació sen(πx) = 0 té com a solució a qualsevol x sancer. És dir, en el conjunt d'número entero, esta equació és en realitat una identitat.

Métodos de solució

Els métodos per a resoldre equacions depenen generalment del tipo d'equació, tant del tipo d'expressions de l'equació com del tipo de valors que poden assumir les incògnites. La varietat de tipos d'equacions és gran, de la mateixa manera que els métodos corresponents. A continuació només es mencionen alguns tipos concrets.

En general, donada una classe d'equacions, pot ser que no es conega cap método sistemàtic (algoritme) que garantise el seu funcionament. Açò pot deure's a la falta de coneiximents matemàtics; alguns problemes només es varen resoldre despuix de sigles d'esforç. Pero açò també reflectix que, en general, no pot existir tal método: se sap que alguns problemes són irresoluble per mig d'un algoritme, com el dècim problema de Hilbert, que es va demostrar irresoluble en 1970.

Per a vàries classes d'equacions, s'han trobat algoritmes per a resoldre-les, alguns dels quals han segut implementats i incorporats en sistemes d'àlgebra computacional, pero a sovint no requerixen tecnologia més sofisticada que llapis i paper. En atres casos, es coneixen métodos heurístics que solen donar bons resultats, pero que no garantisen l'èxit.

En casos simples, és relativament fàcil resoldre una equació sempre i quan se satisfacen certes condicions. No obstant, en casos més complicats, és difícil o engorroso obtindre expressions simbòliques per a les solucions, i per això a voltes s'utilisen solucions numèriques aproximades.

Força bruta, ensaig i error, conjectura inspirada

Si el conjunt solució d'una equació està restringit a un conjunt finito (com és el cas de les equacions en aritmètica modular, per eixemple), o pot llimitar-se a un número finito de possibilitats (com és el cas d'algunes equacions diofánticas), el conjunt solució pot trobar-se per mig de força bruta, és dir, provant cada u dels valors possibles ( soluciones candidats). Pot donar-se el cas, no obstant, de que el número de possibilitats a considerar, encara que finito, siga tan enorme que una busca exhaustiva no siga factible en la pràctica; este és, de fet, un requisit dels métodos de sifrat forta.

Com en tot tipo de resolució de problemes, el ensaig i error a voltes pot donar una solució, en particular quan la forma de l'equació, o la seua similitut en una atra equació en una solució coneguda, pot conduir a una "suposició inspirada" de la solució. Si una suposició, quan es posa a prova, no és una solució, la consideració de la forma en que falla pot conduir a una suposició modificada.

Àlgebra elemental

Equacions en les que intervenen funcions llineals o racionals simples d'una única incògnita de valor real, digam $x$ , tals com

8 x + 7 = 4 x + 35 o \frac{4 x + 9}{3 x + 4} = 2,

pot resoldre's utilisant els métodos del àlgebra elemental.

Sistemes d'equacions llineals

Els sistemes d'equacions llineals més menuts poden resoldre's igualment per métodos d'àlgebra elemental. Per a resoldre sistemes majors s'utilisen algoritmes basats en el àlgebra llineal.

Equacions polinòmiques

Artícul principal → Polinomi#Resolució d'equacions polinòmiques.

Plantilla:Vore també

Les equacions polinòmiques de grau fins a quatre poden resoldre's exactament per mig de métodos algebraics, dels quals la fòrmula quadràtica és l'eixemple més senzill. Les equacions polinòmiques de grau cinc o superior requerixen en general métodos numèrics (vejau més alvance) o funcions especials com radicals de Bring, encara que alguns casos concrets poden resoldre's algebraicamente, per eixemple

4 x^{5} - x^{3} - 3 = 0

(utilisant el teorema de la raïl racional), i

x^{6} - 5 x^{3} + 6 = 0,

(utilisant la substitució $x = z Plantilla:Frac$ , que simplifica açò a una equació quadràtica en $z$ ).

Equacions diofantinas

En equacions diofánticas es requerix que les solucions siguen sanceres. En alguns casos es pot utilisar un enfocament de força bruta, com es va mencionar anteriorment. En alguns atres casos, en particular si l'equació està en una incògnita, és possible resoldre l'equació per a racional-valor incògnites (vejau Teorema de la raïl racional), i després trobar solucions a l'equació de Diophantine restringint el conjunt de solucions a les solucions de valor sancer. Per eixemple, l'equació polinòmica

2 x^{5} - 5 x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 = 0

té com a solucions racionals $x = -Plantilla:Sfrac$ i $x = 3$ , i aixina, vist com una equació diofántica, té la solució única $x = 3$ .

En general, no obstant, les equacions diofánticas es troben entre les equacions més difícils de resoldre.

Funcions inverses

Per al cas simple d'una funció d'una variable, per eixemple, h(x), es pot resoldre una equació del tipo

h(x) = c, c constant

si es té en conte lo que es denomina la funció inversa de h.

Donada una funció h : A → B, la funció inversa, identificada com a h^-1, es definix com a h^-1 : B → A és una funció tal que

h^-1(h(x)) = h(h^-1(x)) = x.

Ara, si s'aplica la funció inversa d'abdós costats de l'igualtat

h(x)=c, c constant

s'obté

h^-1(h(x))=h^-1(c)

x = h^-1(c)

i s'ha trobat la solució de l'equació. No obstant, depenent de la funció, pot ser difícil definir l'inversa, o pot ser que no siga una funció en tot el conjunt B (solament per eixemple en un subconjunt), i tindre molts valors per a un donat punt.

Eixemples

Si x apareix com sumant en l'equació, se suma el terme opost (en el signe canviat) a abdós costats de l'equació per a obtindre x. Si x apareix multiplicant, llavors es multipliquen abdós costats de l'equació per la seua número recíproc. Si x és un exponent en una equació exponencial, s'aplica el logaritmo en una base adequada a abdós costats de l'equació. Si x és la base d'una equació de potencia, s'aplica la raïl corresponent a abdós costats de l'equació. Si x és l'àngul en una equació trigonométrica, s'aplica la funció trigonométrica inversa a abdós costats de l'equació.

Métodos numèrics

En equacions més complicades, els métodos simples de solució d'equacions pot ser no siguen apropiats. En certs casos, es pot usar un algoritme de busca de raïls per a trobar la solució numèrica a una equació, que en certs casos és més que suficient per a resoldre alguns problemes.

Séries de Taylor

Un àrea de la matemàtiques s'ha enfocat en la creació d'alguna funció més simple para aproximar a una funció complexa, en les rodalies o entorn d'un donat punt. En efecte, es poden utilisar polinomis en una o vàries variables per a aproximar funcions - un eixemple d'estos polinomis són les series de Taylor.

Factorización

Si l'expressió del costat esquerre d'una equació $P = 0$ pot ser factorizada com $P = QR$ , el conjunt solució de la solució original consistix en l'unió dels conjunts solució de les dos equacions $Q = 0$ i R = 0. Per eixemple, l'equació $t a n x + \cot x = 2$ pot reescriure's, utilisant l'identitat $tan x cot x = 1$ com

\frac{\tan^{2} x - 2 \tan x + 1}{\tan x} = 0,

que pot factorizarse en

\frac{{(\tan x - 1)}^{2}}{\tan x} = 0,

Les solucions són per tant les solucions de l'equació $tan x = 1$ , i són per tant el conjunt $x = \frac{π}{4} + k π, k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots .$

Métodos numèrics

En equacions més complicades en número real o complexos, els métodos simples per a resoldre equacions poden fallar. A sovint, es poden utilisar algoritmes de busca de raïls com el método de Newton per a trobar una solució numèrica a una equació, lo que, per a algunes aplicacions, pot ser totalment suficient per a resoldre algun problema.

Equacions matriciales

Les equacions que impliquen matrius i vectores de número real poden resoldre's a sovint utilisant métodos del àlgebra llineal.

Equacions diferencials

Existix una gran cantitat de métodos per a resoldre varis tipos d'equacions diferencials, tant numèricament com analíticamente. Una classe particular de problemes que pot considerar-se que pertany a este àmbit és la integració, i els métodos analítics per a resoldre este tipo de problemes es denominen ara integració simbòlica.^{cita requerida} Les solucions de les equacions diferencials poden ser implícita o explícites.^[2]

Resolució d'atres equacions

Es deu notar que és possible crear distintes equacions encara més complicades, per mig de l'us d'operadors diferencials, matrius, i atres operadors matemàtics. En tots estos casos es manté el principi de que la resolució de l'equació és la busca dels valors que fan que l'equació se satisfaça, solament que depenent dels operadors matemàtics involucrats serà necessari utilisar diferents estratègies o métodos per a resoldre les equacions.

Vore també

Referències

↑ Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada t de Ec
↑ Dennis G. Zill. Un primer curs d'equacions diferencials en aplicacions d'modelización, Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Resolución de ecuaciones» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[t_de_Ec-1] Erro en la cita: L'element <ref> no és vàlit; puix no n'hi ha una referència en text nomenada t de Ec

[Zill2012-2] Dennis G. Zill. Un primer curs d'equacions diferencials en aplicacions d'modelización, Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[1]

[2]