Potenciació

Potenciació

La potenciació és una operació matemàtica entre dos térmens denominats: base $a$ i exponent $n$. S'escriu $a^n$ i es llig normalment com «$a$ elevat a la $n$». Hi ha alguns exponents especials com el 2, que es llig al quadrat, i el 3, que es llig a la gaveta. Exponents majors que el 3 (gaveta) solen llegir-se de manera ordinal: «elevat a la quarta, quinta, sexta, etc. potencia».

Definició

La potenciació és la pren d'un número denominat base com a factor tantes voltes com ho indique un atre número denominat exponent.

Es diu potència a una expressió de la forma $a^n$, a on $a$ és denominada base i $n$ és denominat exponent. La seua definició varia segons el conjunt numèric al que pertanyga l'exponent. La base es multiplica per sí mateixa les voltes indicades per l'exponent, és dir, si diem "elevar al quadrat" es referix a "multiplicar dos voltes" i si diem "elevar a la gaveta" es referix a "multiplicar tres voltes".

Exponent natural

Quan l'exponent és un número natural ($n$), est indica les voltes que apareix a multiplicant per sí mateixa, sent a un número qualsevol:

Esta definició pot aplicar-se tant a número real com complexos, aixina com a atres estructures algebraiques més abstractes, que poden ser, per eixemple, matrius quadrades.

Multiplicació de potències d'igual base

Es conserva la base i se sumen els exponents; és dir:

Eixemples:

$9^3\cdot 9^2=9^{3+2}=9^5$

Potència d'una potència en matriu quadrada

Daus dos exponents sancers, la potència d'una potència en matriu quadrada és igual a la potència de base $a$ i l'exponent de la qual és el producte d'abdós exponents (la mateixa base i es multipliquen els exponents):

Per açò, la notació $a^{b^c}$ es reserva per a significar $a^{(b^c)}$ ya que ${(a^b)}^c$ es pot escriure senzillament com $a^{bc}$.

Potència d'un producte

La potència d'un Producte és igual al producte de cada u dels factors elevat al mateix exponent, és dir:

---

Si la base a té invers aditiu, indicat per mig de signe negatiu ($-a$), llavors es té la regla:

Si la base a té invers multiplicativo $c$, és dir $c\cdot a=1$ o que $c=\frac{1}{a}$, llavors este es denota per $a^{-1},$ i l'exponent es pot ampliar a tots els número entero:

Observació

$a^{-n}=(a^{-1}{)}^n=\underset{n}{\underbrace{\frac{1}{a}\times \cdots \times \frac{1}{a}}}=\frac{1}{\underset{n}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}=\frac{1}{a^n}.$

Divisió de potències d'igual base

El cocient de dos potències en la mateixa base és igual a una potència de dita base en un exponent igual a la diferència de l'exponent del divident menys el del divisor, açò és:

Eixemple:

$\frac{9^5}{9^3}=9^{5-3}=9^2$

Potència d'exponent 0

Per convenció, un número distint de 0 elevat a l'exponent 0 dona com resultat la unitat (1), ya que:

$1=\frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$

El cas particular de $0^0$ no està definit i és conegut com una indeterminación.

Potència d'un cocient

La potència d'un cocient és igual al cocient de cada u dels números elevat al mateix exponent.

---

Si la base $a=0$, llavors $a$ no té invers multiplicativo $a^{-1}$, per #lo que solament es presenten exponents d'número natural per (1) quedant aixina prohibida la notació (2) com a valor numèric:

$0^1=0$

Exponent racional

Artícul principal → Radicació.

La potenciació en exponent racional ve de la necessitat de resoldre una equació del tipo $x^n=a$, de manera que $x=\sqrt[n]{a}$, pero s'ha de garantisar, per la teorema d'existència i unicitat de les raïls quadrades, que dita $x$ siga un número real i açò solament es pot garantisar para tot $n$ si la base a és un número real positiu:

Donada un número real positiu a, est té una única raïl n-ésima positiva.

Per a notar la raïl es definix l'us de fraccions en l'exponent:

Observació

${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a^{\frac{1}{n}\cdot n}=a^1=a.$

En general per a les fraccions es definix que:

Relació

Propietats

$a^{\frac{n_1}{m_1}}\cdot a^{\frac{n_2}{m_2}}=a^{\frac{n_1}{m_1}+\frac{n_2}{m_2}},$

${\left(a^{\frac{n_1}{m_1}}\right)}^{\frac{n_2}{m_2}}=a^{\frac{n_1}{m_1}\cdot \frac{n_2}{m_2}},$

$(a\cdot b{)}^{\frac{n}{m}}=a^{\frac{n}{m}}\cdot b^{\frac{n}{m}}.$

Exponent real

Artícul principal → Exponenciación.

La potenciació pot estendre's a exponents reals usant successions racionals; açò s'arreplega en la següent teorema:

Note's que les successives aproximacions de $a^n$ tenen com a exponent número racional, en lo que per a que la definició siga consistent, s'exigix que a siga un número real positiu. Esta definició anterior es recolza que els número racional constituïxen un subconjunt dens en el conjunt dels número real:

$\overline{\mathbb{Q}}=ℝ$.

Alternativament, es pot definir la potenciació usant la funció exponencial i la seua inversa, la funció logaritmo natural, en un procés que es denomina exponenciación. Per a dos número real $x$ i $y$, en la condició $x>0$, la potenciació es pot expressar de la següent manera:

$x^y=e^{y\ln x};x,y\in ℝ;x>0$.

Esta fòrmula proporciona una forma general de calcular potències quan la base és un número real positiu, #lo que resulta en una extensió útil del concepte de exponenciación.

Análogamente, es pot estendre la potenciació a funcions. Aixina, es definix

$f(x{)}^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$.

D'igual manera, esta és totalment consistent si el conjunt image de $f(x)$ és el conjunt dels número real positius ${ℝ}^{+}$, o algun subconjunt d'est, sent els valors de la funció exponent $f(x)$ número real qualsevol, degut a que el logaritmo natural no està definit per a números negatius.

Exponent complex

Pot estendre's a exponents complexos usant funcions analítiques o holomorfas, aixina $a^b=\text{det-exp}(b\cdot \text{det-log }a)$ a on det-exp és la determinació de l'exponencial i det-log és la determinació del logaritmo natural.

Resultats de potenciació

Propietats que no complix la potenciació

No és distributiva sobre l'adició i substracció (vejau productes notables), és dir, no es pot distribuir quan dins del paréntesis és suma o resta:

$(a+b{)}^m\ne a^m+b^m$

$(a-b{)}^m\ne a^m-b^m$

No complix la propietat conmutativa:

$a^b\ne b^a$

Tampoc complix la propietat associativa:

$a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b{)}^c=a^{(b\cdot c)}=a^{bc}$

Potència de base 10

Artícul principal → Notació científica.

Per a les potències en base 10 i exponent sancer, l'efecte serà desplaçar la menge decimal tantes posicions com indique l'exponent, cap a l'esquerra si l'exponent és negatiu, o cap a la dreta si l'exponent és positiu.

Eixemples:

$\begin{array}{ccc}10^{-6}& =& 0,000001\\ 10^{-5}& =& 0,00001\\ 10^{-4}& =& 0,0001\\ 10^{-3}& =& 0,001\\ 10^{-2}& =& 0,01\\ 10^{-1}& =& 0,1\end{array}$

$\begin{array}{ccc}10^0& =& 1\\ 10^1& =& 10\\ 10^2& =& 100\\ 10^3& =& 1.000\\ 10^4& =& 10.000\\ 10^5& =& 100.000\\ 10^6& =& \mathrm{1.000.000}\end{array}$

Les potències de base 10 s'utilisen en freqüència per a expressar números grans (en moltes sifres) o menuts (en molts decimals). Per eixemple, l'número decimal 0,00000123 pot expressar-se com $123\cdot 10^{-8}$. Eixa forma d'escriure els números es coneix com notació científica.

Representació gràfica

La representació gràfica d'una funció potencia f(x) = xⁿ en exponent natural n parell té una simetria similar a la d'una paràbola. El seu vèrtiç se situa en el punt (0, 0) i la curva és decreixent en el segon quadrant i creixent en el primer.

La representació gràfica d'una funció potencia f(x) = xⁿ en exponent natural n impar és una curva en dos branques unides en el punt (0, 0), que posseïx simetria rotacional al voltant d'est. El punt d'inflexió precisament es troba en el punt (0, 0), la curva és sempre creixent i ocupa el tercer i primer quadrant.

Dites curves són contínues i derivables en tot el seu domini de definició.

Llímits

Indeterminación 0⁰

El cas especial $0^0$es considera indefinit i depenent del context poden ser assignats distints valors depenent de les propietats específiques que es vullguen mantindre.

Per eixemple, pot argumentar-se que $0^0$és l'igual al valor del llímit

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^0$

i com $x^0=1$ per a $x\ne 0$, dit valor podria ser igual a 1. No obstant també pot considerar-se dita expressió com el valor del llímit

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{0}^x$

i com $0^x=0$ per a $x\ne 0$, dit valor podria ser igual a 0. Açò ilustra que la forma $0^0$ pot correspondre a diferents valors i per això es considera indefinida.

El debat sobre el valor de la forma $0^0$ té casi dos sigles d'antiguetat. Durant els primers dies del anàlisis matemàtic que el fonament formal del càlcul no s'havia establit, era comú acceptar que $0^0$=1. No obstant, en 1821 quan Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique establint el primer tractament rigorós de l'anàlisis, dita forma apareix en una taula de formes indefinides junt a atres com 0/0. En els anys 1830, Libri va publicar un argument per a assignar 1 com a valor de $0^0$ i Möbius ho va recolzar afirmant erròneament que

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t{)}^{g(t)}=1$ sempre que $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }g(t)=0.$

No obstant un comentariste que va firmar simplement com a «S» va proporcionar un contraeixemple

$f(t{)}^{g(t)}={(e^{-1/t})}^t$

el llímit del qual quan $t\to 0^{+}$ és $1/e$, la qual cosa va calmar el debat en l'aparent conclusió de l'incident que $0^0$ deuria permanéixer indefinida. Es poden trobar més detalls en Knuth (1992).

En l'actualitat, sol considerar-se la forma $0^0$ com a indefinida i no se li assigna valor si no es té un context en el qual el valor assignat tinga sentit.

Per a calcular llímits el valor aparent dels quals és $0^0$ sol usar-se la regla de l'Hôpital.

Generalisacions

Extensió a estructures abstractes

La definició de potenciació pot estendre's a exponents reals, complexos o inclús matriciales. Donat un anell $(𝔸,+,\cdot )$ l'operació de potenciació es definix com:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{t}:& 𝔸\times \mathbb{N}& ⟶& 𝔸\\ & (x,n)& ⟶& y=\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{t}(x,n)=x^n\end{array}$

Açò diferix de la exponenciación que és definible sobre un cos que continga als racionals o certes #àlgebra sobre els reals o complexos:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}:& 𝔸& ⟶& 𝔸\\ & x& ⟶& y=\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(x)=e^x\end{array}$

$\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{p}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}$

Òbviament la exponenciación solament es pot definir sobre un conjunt en el que siga possible definir la potenciació, encara que un anell admetrà sempre l'operació de potenciació (en exponent natural) encara que no admeta la exponenciación.

Potència d'número complejo

Artícul principal → Fòrmula de De Moivre#Potencia.

Per a qualsevol dels número real $a,b,c,d$ es té l'identitat:

${\left(a{e}^{ib}\right)}^{\left(c{e}^{id}\right)}=a^{c\cos d}{e}^{i(c\log a\sin d+bc\cos d)-bc\sin d}$

Vore també

• Productes notables
• Raïl quadrada
• Radicació
• Fòrmula de De Moivre (per a potències d'número complejo)
• Potència de dos
• Série de potències
• Logaritmo

Referències

Bibliografia

• Ortega (1993). «Potencies de base real positiva i exponent real», el_anàlisis_matemàtic.html?aneu=dmOd2KMy7eYC Introducció a l'anàlisis matemàtic, Barcelona: Universitat Autònoma de Barcelona/Llabor, pp. 51-54. OCLC 37802457. ISBN 978-8-433-53047-9.

Enllaços externs

• Artícul sobre potenciació en Enciclopèdia universal en espanyol