Anell (matemàtica)

Richard Dedekind (c. 1870)

En àlgebra abstracta, un anell és un sistema algebraic format per un conjunt i dos operacions internes, cridades usualment «suma» i «producte», que complixen certes propietats.

En térmens més específics, un anell és una terna $(R,+,\cdot )$, a on $R$ és un conjunt i + i • són operacions binarias internes en $R$, en a on $(R,+)$ és un grup abeliano, $(R,\cdot )$ és un semigrupo i es verifica la distributiva bilateral de • respecte de +. Sol denominar-se «suma» i «producte» a les operacions + i •, respectivament. En esta convenció, l'element neutre de la suma es designa com 0, l'opost sobre la suma d'un element a, pertanyent al conjunt R donat, es denota com –a i el neutre del producte es designa com 1. Seria redundante dir que un anell és un conjunt no buit, puix una volta que es definix com un grup abeliano en la suma, açò queda clar.

El producte en un anell no necessàriament té una operació inversa definida, a diferència d'atres estructures algebraiques com el cos. Si el producte és conmutativo, tal anell es denomina «anell conmutativo».

Història

La teoria d'anells va sorgir de l'exploració d'assunts vinculats en la divisibilidad entre número entero, de l'estudi simultàneu de divisibilidad de polinomis i fins a de el cas dels cossos, concretament, dels número racional, número real, número complejo i dels número algebraico, dels cuaterniones, fraccions racionals i uns atres. En l'etapa inicial, varen ser les matèries de la teoria de números i de la geometria algebraica les que varen propiciar els conceptes d'anell, cos i ideal. En la seua estructuració axiomatica , tals idees varen ser frut de l'esforç de Dedekind i atres matemàtics a fins de el XIX. Les seues aplicacions al anàlisis matemàtic mostren els enfocaments moderns de algebrización de tal disciplina matemàtica, que ocorren recent en el segon quart de el XX.

El terme anelle va ser propost pel matemàtic alemà David Hilbert en Der Zahlbericht (Informe sobre els números 1897). L'expressió anelle booleano la va introduir el matemàtic britànic Arthur Harold Stone (1938).

Noció d'anell

Artícul principal → Número entero.

Vore també: Propietats dels número entero

Considere's el conjunt de número entero:

... –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

proveït de dos de les operacions binarias: l'adició i la multiplicació. Històricament, el conjunt ℤ dels sancers en les seues dos operacions va servir de base per a la formulació del concepte d'anell. La raó per la qual els sancers formen un anell és que posseïxen les següents propietats:

1. Els número entero estan tancats baix la suma: daus dos número entero a i b, es complix que a + b és un número entero.
2. La suma és associativa: daus tres número entero a, b i c, es complix que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existix un element neutre per a la suma: per a tot número entero a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existix un element simètric per a la suma: per a tot número entero a, sempre existix algun número entero b, tal que a + b = 0.

1. La suma és conmutativa: daus dos número entero a i b, es complix que a + b = b + a.
2. Els número entero estan tancats baix la multiplicació: daus dos número entero a i b, es complix que a × b és un número entero.
3. La multiplicació és associativa: daus tres número entero a, b i c, es complix que (a × b) × c = a × (b × c).
4. Existix un element neutre per a la multiplicació: per a tot número entero a, a × 1 = a.
5. La multiplicació és distributiva respecte de la suma per la dreta: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
6. La multiplicació és distributiva respecte de la suma per l'esquerra: (b + c) × a = (b × a) + (c × a).

Vore també

• Grup (matemàtica).
• Grup abeliano.
• Anell conmutativo.
• Cos (matemàtica).
• Homomorfisme d'anells.

Bibliografia

• R.B.J.T. Allenby(1991).«Rings, Fields and Groups».Butterworth-Heinemann.
• Atiyah M. F., Macdonald, I. G., Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont. 1969 ix+128 pp.
• Beachy, J. A. Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.
• T.S. Blyth and E.F. Robertson(1985).«Groups, rings and fields: Algebra through practice, Book 3».Cambridge university Press.
• Dresden, G. "Small Rings." [1]
• Ellis, G. Rings and Fields. Oxford, England: Oxford University Press, 1993.
• Goodearl, K. R., Warfield, R. B., Jr., An introduction to noncommutative Noetherian rings. London Mathematical Society Student Texts, 16. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xviii+303 pp. ISBN 0-521-36086-2
• Herstein, I. N., Noncommutative rings. Reprint of the 1968 original. With an afterword by Llance W. Small. Carus Mathematical Monographs, 15. Mathematical Association of America, Washington, DC, 1994. xii+202 pp. ISBN 0-88385-015-X
• (2009).«Basic algebra».Dover.1
• Nagell, T. "Moduls, Rings, and Fields." §6 in (6 in = 15,2 cm) Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 19–21, 1951
• Nathan Jacobson, Structure of rings. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 37. Revised edition American Mathematical Society, Providence, R.I. 1964 ix+299 pp.
• Nathan Jacobson, The Theory of Rings. American Mathematical Society Mathematical Surveys, vol. I. American Mathematical Society, New York, 1943. vaig vore+150 pp.
• (1974).«Commutative rings».University of Chicago Press.
• Lam, T. Y., A first course in noncommutative rings. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 131. Springer-Verlag, New York, 2001. xx+385 pp. ISBN 0-387-95183-0
• Lam, T. Y., Exercises in classical ring theory. Second edition. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 2003. xx+359 pp. ISBN 0-387-00500-5
• Lam, T. Y., Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics, 189. Springer-Verlag, New York, 1999. xxiv+557 pp. ISBN 0-387-98428-3

• (2005).«Undergraduate Algebra».Springer-Verlag.Berlin, New York:.
• (1989).«Commutative Ring Theory».Cambridge University Press.
• McConnell, J. C.; Robson, J. C. Noncommutative Noetherian rings. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 30. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xx+636 pp. ISBN 0-8218-2169-5
• (2007).«Commutativity conditions for rings: 1950–2005».Expositiones Mathematicae.25(2)

165–174.ISSN 0723-0869.doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001.

• Rowen, Louis H., Ring theory. Vol. I, II. Pure and Applied Mathematics, 127, 128. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. ISBN 0-12-599841-4, ISBN 0-12-599842-2
• Sloane, N. J. A. Sequences A027623 and A037234 in (037.234 in = 946 m) "The On-line Encyclopedia of Integer Sequences
• Zwillinger, D. (Ed.). "Rings." §2.6.3 in CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141–143, 1995
• Kostrikin, A.I.: Introducció a l'àlgebra(1983) Editorial Mir, Moscou. Traducció a l'espanyol de Roberto Aníbal Sala.