Propietats dels número entero

El conjunt dels número entero, proveït de les operacions d'adició i multiplicació formen lo que en àlgebra abstracta es coneix com una estructura algebraica d'anell. El conjunt dels número entero es representa per mig de la lletra $\mathbb{Z}$ (que prové del alemà Zahl, «número» o «cantitat»). Els sancers estan totalment ordenats, i és possible definir vàries nocions de distància entre dos sancers qualssevol, sent la més usual igual al valor absolut del seu diferència.

Relació en atres conjunts

Els número entero poden ser considerats, per un costat, com una extensió dels número natural, i per un atre com un subconjunt dels números racionals o fraccions, ya que cada número entero pot ser considerat com una fracció - una divisió el denominador de la qual és el número un. En concret es dona la següent cadena d'inclusions:

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ$,

formada d'esquerra a dreta pels naturals, els sancers, els racionals, els reals i els complexos.

Un atre conjunt d'interés que estén els sancers són els sancers gaussianos, denotat $\mathbb{Z}[i]$: combinacions llineals de la forma m + in, a on m i n són sancers, i i és el número imaginario $\sqrt{-1}$. Estos, aixina com els sancers quadràtics són subconjunts de l'anell dels sancers algebraics.

Existixen infinits número entero. Encara que a simple vista hi ha més número entero que naturals, en realitat és possible posar abdós conjunts en correspondència biyectiva, lo que significa que abdós conjunts tenen la mateixa cardinalidad. Es denomina a este cardinal ${\mathrm{\aleph }}_0$, i és el menor cardinal infinit. És el cardinal dels conjunts numerables, en particular $\mathbb{Z}$ és numerable.

La correspondència pot expressar-se per mig d'una successió que continga tots els sancers, per eixemple

$0,-1,+1,-2,+2,-3,+3,\mathrm{...}$

El fet de que $\mathbb{Z}$ es puga posar en correspondència en un subconjunt propi seu significa que és un conjunt infinit-Dedekind. Per que

Construcció formal dels sancers

Classes de diferències de número natural

Un número entero negatiu pot ser definit per mig de la diferència de dos número natural. Per eixemple $-3=5-8$, d'a on pot associar-se el número $-3$ en el parell ordenat $(5,8)$ de número natural. No obstant, degut a que $(4,7)$ i una infinitat més de parells ordenats donen com a resultat $-3$ en restar, no pot dir-se simplement que $-3=(5,8)$. En lloc d'això, s'inclouen tots els parells ordenats de número natural, que donen com a resultat $-3$ en restar els seus components, dins d'una classe d'equivalència.

Formalment, es diu que els parells $(a,b)$ i $(c,d)$ són equivalents (és dir, s'associen al mateix número entero), lo que es denota com $(a,b)\sim (c,d)$ si i solament si:

(1) $a+d=b+c$.

La relació $\sim$ és una relació d'equivalència que produïx en $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ una partició en classes d'equivalència, denotades en corchetes com en $[(5,8)]$, cada una de les quals pot ser associada a un únic número entero i viceversa. Per eixemple:

$[(4,7)]=[(2,5)]=[(5,8)]=[(1,4)]=-3$

Si admetem el zero com a número natural, podem definir:

$\{\begin{array}{c}[(n,0)]=n\\ [(0,n)]=-n\end{array}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Si no s'accepta el zero com a número natural, i es partix, en canvi, de l'1, es definix llavors

$\{\begin{array}{c}[(n+1,1)]=n\\ [(1,n+1)]=-n\end{array}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Després el zero pot definir-se com:

$0=[(n,n)]\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

El triar $(n,0)$ i $(0,n)$ o $(n+1,1)$ i $(1,n+1)$ para quan no s'accepta $(0\in \mathbb{N}$), per a les definicions anteriors és una decisió completament arbitrària que pren en conte la senzillea d'estos parells ordenats. Note's que, de qualsevol forma,

$\{\begin{array}{c}[(n+m,m)]=n\\ [(m,n+m)]=-n\end{array}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Es definix puix el conjunt dels número entero com el conjunt:

(2) $\mathbb{Z}=\{[(a,b){]}_{\sim }\mid (a,b)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}\}$

de totes les classes d'equivalència produïdes per la relació $\sim$ sobre el producte cartesiano $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$. Açò és, $\mathbb{Z}$ és el conjunt cocient:

(3) $\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times \mathbb{N})/\sim$.

Definició de l'adició i la multiplicació

Es definix l'adició ($+$) sobre $\mathbb{Z}$ com

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],$ para tot $a,b,c,d\in \mathbb{N}$

tenint prèviament definida l'adició sobre $\mathbb{N}$. La definició anterior no depén dels representants $a,b,c,d$ triats, ya que qualssevol atres parells de les mateixes classes d'equivalència conduïxen al mateix resultat. Açò significa que l'adició és una operació ben definida.

La multiplicació ($\cdot$) sobre $\mathbb{Z}$ es definix com seguix:

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)],$ para tot $a,b,c,d\in \mathbb{N}$

tenint prèviament definida la multiplicació sobre $\mathbb{N}$. La definició anterior també està ben definida.

L'orde dels sancers

De la mateixa manera que els naturals estan ordenats, és possible definir un orde total en els sancers. Daus dos sancers $m=(a,b)$ i $n=(c,d)$, es diu que $m\le n$ (llegit m és menor o igual que n) si

$a+d\le c+b$,

respecte de l'orde en els número natural. Análogamente es definix l'orde estricte $m<n$.

Es pot comprovar que este orde estén l'orde dels naturals. Este orde no té cota superior ni inferior; informalmente, no hi ha un «número entero màxim» ni un «número entero mínim». En conseqüència, no és un bon orde, a diferència de l'orde dels naturals.

Referències