Sancer quadràtic

Els sancers quadràtics, en els predios de la teoria de números, són una generalisació dels sancers racionals als cossos quadràtics. Entre eixemples importants, es mencionen els sancers gaussianos i els sancers de Eisenstein. Encara que han segut estudiats, en un lapsus major de cent anys, molts problemes continuen en dejunis de solució.

Definició

Els sancers quadràtics són solucions de la forma:

x² + Bx + C = 0

per a sancers B i C. Tals solucions tenen la forma a + ωb, a on a, b són sancers, i a on ω està definit per mig de:

$\omega =\{\begin{array}{cc}\sqrt{D}& \text{si }D\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)\\ \frac{1+\sqrt{D}}{2}& \text{si }D\equiv 1(\mathrm{mod}4)\end{array}$

(D és un sancer lliure de quadrats).

Esta caracterisació va ser donada per primera volta per Richard Dedekind en 1871. Fixant un sancer lliure de quadrats D, l'anell de sancers quadràtics ℤ[ω] = {a + ωb ÷ a, b ∈ ℤ} és un subanillo del cos quadràtic Q(√D). Per una atra part, ℤ[ω] és la clausura integral de ℤ en Q(√D). En atres paraules, és l'anell de sancers ${𝒪}_{𝐐(\sqrt{D})}$ de Q(√D) i per lo tant un domini de Dedekind.

Eixemples

• Un eixemple clàssic és Z[√-1], els sancers gaussianos, que varen ser introduïts per Carl Friedrich Gauss al voltant de 1800 per a l'establiment de la seua llei de reciprocitat biquadràtica.
• Els elements en ${𝒪}_{𝐐(\sqrt{-3})}=𝐙\left[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}\right]$ són cridats sancers de Eisenstein.
• En canvi, Z[√-3] no és un domini de Dedekind.

Vore també

• Última teorema de Fermat
• Equació de Pell

Referències

• . Traduït de l'original en francés per John Meldrum.
• . Retrieved 5. August 2009
• Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. Abstract Algebra, 3rd ed.
• J.S. Milne. Algebraic Number Theory, Version 3.01, September 28, 2008. Notes de llectura en llínea (en anglés).