Sancer lliure de quadrats

Archiu:Squarefree numbers sieve.svg

Els sancers lliures de quadrats fins a 120, que queden despuix d'eliminar els múltiples dels quadrats dels cosins menors que √120.

Un número entero n és lliure de quadrats si no existix un número primo p tal que p² dividix a n. Açò vol dir que els factors primers de n són tots distints, després

$n=p_1{p}_2\cdots p_k=\prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{i\in \{1,\cdots ,k\}}{p\text{ primo}}}{p}_i.$

D'esta forma, 10=2·5 és lliure de quadrats, pero 20=2²·5 no ho és, perque és divisible per un quadrat. Els primers sancers lliures de quadrats són:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ... Plantilla:OEIS

Alternativament, si el número a en expressar-ho com a producte de factors primers, tots ells tenen exponent 1, es diu que a és sancer exent de quadrats.

Funció generadora de Dirichlet

Si q(n)=1, a on n és un sancer que no conté cap quadrat en la seua factorización i q(n)=0 a on n conté un o més quadrats en la seua factorización, la funció q(n) ve definida com $q(n)=|\mu (n)|$, sent μ(n) la funció de Möbius. Llavors, la funció generadora de Dirichlet per als sancers lliures de quadrats és

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{q(n)}{n^s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}$

a on ζ(s) és la funció zeta de Riemann. Açò pot ser vist fàcilment del producte de Euler

$\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}=\prod _p\frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod _p(1+p^{-s}).$

Distribució dels números lliures de quadrats

Si Q(x) indica el número de números lliures de quadrats menors o iguals que x, llavors

$Q(x)=\frac{6x}{{\pi }^2}+O(\sqrt{x})$

(vore π).
La densitat dels números lliures de quadrats és, per tant,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{Q(x)}{x}=\frac{6}{{\pi }^2}$

Referències

• Guy (2004). Unsolved problems in number theory, 3rd edició, Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7.