Funció zeta de Riemann

Archiu:Complex zeta.jpg

Funció zeta de Riemann 𝜁 (s) en el pla complex. El color d'un punt s codifica el valor de ζ(s). Colors forts denoten valors propencs a 0 i el to codifica el valor del argumente. El punt blanc en s=1 és el pol de la funció zeta; els punts negres en l'eix real negatiu i en la llínea crítica Re(s) = 1/2 són els seus zeros.

La funció zeta de Riemann (a sovint denominada dseta per transliteración de la lletra grega ζ / 𝜁), nomenada en honor a Bernhard Riemann, és una funció que té una importància significativa en la teoria de números, per la seua relació en la distribució dels número primo. També té aplicacions en atres àrees tals com la física, la teoria de provabilitat i estadística aplicada.

Definició

La funció zeta de Riemann ζ(s) està definida, para valores complexos en part real major que un, per la série de Dirichlet:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

En la regió {s ∈ $ℂ$ | Re(s) > 1}, esta série infinita convergix i definix una funció que és analítica en esta regió. Riemann va observar que la funció zeta pot estendre's de manera única per continuació analítica a una funció meromorfa en tot el pla complex en un únic pol en s = 1. Esta és la funció que es considera en la hipòtesis de Riemann.

Per als complexos en Re(s)<1, els valors de la funció deuen ser calculats per mig de la seua equació funcional, obtinguda a partir de la continuació analítica de la funció.

Relació en els número primo

La conexió entre esta funció i els número primo va ser observada per primera volta per Leonhard Euler, que es va donar conte de que:

$\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\dots =\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^s}=\prod _p\sum _{k\ge 0}(p^{-s}{)}^k=(1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots )(1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\cdots )\cdots (1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots )\cdots$

ya que per a cada primer p, $\sum _{k\ge 0}(p^{-s}{)}^k$ és una série geomètrica, convergent per a qualsevol número complejo s en Re(s) > 1 a:

$\sum _{k\ge 0}(p^{-s}{)}^k=\frac{1}{1-p^{-s}}$

s'obté que:

$\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{1-p^{-s}}$

a on el producte infinit és sobre tots els número primo i s un número complejo en Re(s) > 1. Esta expressió és anomenada producte de Euler, en honor al seu descobridor. La fòrmula és conseqüència de dos resultats simples pero fonamentals en Matemàtica: la fòrmula per a les séries geomètriques i el teorema fonamental de l'aritmètica.

Vore també

• Constant zeta
• Constants de Stieltjes
• Hipòtesis de Riemann
• Hipòtesis generalisada de Riemann

Referències

• (1859).Monatsberichte der Berliner Akademie. En Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), reimpreso per l'editorial Dover, Nova York (1953).
• Jacques Hadamard, Sur la distribution dones zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques (en francés), Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp. 199-220.
• Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp. 458-464. (Globally convergent séries expression.)
• E. T. Whittaker i G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, 4.ª edició, Cambridge University Press (Capítul XIII).

• H. M. Edwards (1974). Riemann's Zeta Function (en en), Academic Press. ISBN 0-486-41740-9.
• G. H. Hardy (1949). Divergent Séries (en en), Clarendon Press, Oxford.
• A. Ivic (1985). The Riemann Zeta Function, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X.
• (1992) The Riemann Zeta-Function (en en), W. de Gruyter, Berlin.
• Hugh L. Montgomery (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory (en en-gb), Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9.Capítul 10.
• Donald J. Newman (1998). Analytic number theory (en en), Springer-Verlag. ISBN 0-387-98308-2. Capítul 6.
• E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition (en en), Oxford University Press.
• Jonathan Borwein, David M. Bradley, Richard Crandall(2000).J. Comp. App. Math..121

11.Consultat el 17 de decembre de 2010. (enllaços al ficher PDF)

• Djurdje Cvijović i Jacek Klinowski(2002).J. Comp. App. Math..142

435–439.doi:10.1016/S0377-0427(02)00358-8.Consultat el 17 de decembre de 2010.

• Djurdje Cvijović i Jacek Klinowski(1997).Proc. Amer. Math. Soc..125

2543–2550.doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.

• Jonathan Sondow, «Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series», Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) pp. 421-424
• Jianqiang Zhao(1999).Proc. Amer. Math. Soc..128

1275–1283.

• Guo Raoh: «The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function», Proceedings of the London Mathematical Society 1996; s3-72: 1-27

• Istvan Engrunse i Ayhan Dil, ^{[enllaç trencat]}, Journal of Number Theory, (2010) 130 , 2, 360-369.
• Andri Lopez; convergent séries for the zeta function; https://stm.bookpi.org/CTMS-V2/article/view/1779