Funció meromorfa

Funció meromorfa

En anàlisis complex, una funció meromorfa sobre un subconjunt obert D del pla complex és una funció que és holomorfa en tot D llevat en un conjunt de punts aïllats, cridats pols de la funció. (La terminologia ve del Grec clàssic “mers”, que significa part, en contrapunt a “holos”, que significa tot.) Dites funcions són a voltes conegudes com a funcions regulars o regulars sobre D.

Tota funció meromorfa sobre D pot ser expressada com el cocient entre dos funcions holomorfas (no sent el denominador la funció constant 0) definides sobre D: els pols de la funció meromorfa ocorren en els zeros del denominador.

La funció gamma és meromorfa en tot el pla complex.

Intuitivament, una funció meromorfa és un cocient de dos "bones" funcions (holomorfas). Dita funció seguirà sent "bona" llevat en els punts en el que el denominador s'anula, en els quals el valor tendix a infinit.

Des d'un punt de vista algebraic, si D és un espai conexo, llavors el conjunt de funcions meromorfas és un cos de fraccions del domini d'integritat del conjunt de funcions holomorfas. Esta relació és anàloga a l'existent entre $\mathbb{Q}$, els racionals, i $\mathbb{Z}$, els sancers.

Eixemples

• Tota funció racional com:

$f(z)=\frac{z^3-2z+1}{z^5+3z-1}$

és meromorfa en tot el pla complex.

• Les funcions

$f(z)=\frac{e^z}{z},yf(z)=\frac{\sin z}{(z-1{)}^2}$

aixina com la funció gamma i la funció zeta de Riemann són meromorfas en tot el pla complex.

• La funció

$f(z)=e^{\frac{1}{z}}$

està definida en tot el pla complex exceptuant l'orige, z=0. No obstant, el punt z=0 no és un pol de la funció sino una singularitat essencial. Per tant, esta funció no és meromorfa en tot el pla complex. No obstant, és meromorfa (inclús holomorfa) en C-{0}.

• La funció logaritme complex:

$f(z)=\ln z$

no és meromorfa en tot el pla complex, ya que no pot ser definida de forma contínua en tot el pla i ni seguira llevant un conjunt de punts aïllats.

Propietats

Com els pols d'una funció meromorfa són aïllats, com molt pot haver una cantitat numerable d'ells. El conjunt de pols pot ser infinit, com es pot vore en la funció:

$f(z)=\frac{1}{\sin z}$

Per mig de l'Extensió analítica per a eliminar les singularitats evitables, les funcions meromorfas poden ser sumades, restades, multiplicades, i el cocient f/g està ben definit a no ser que g(z) = 0 sobre una component conexa de D. Per lo que, si D és conexo, les funcions meromorfas constituïxen un cos, de fet constituïxen una extensió dels complexos.

Referències

• Lars Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill Education, ISBN 0-07-085008-9
• Serge Lang, Complex Analysis, Springer, 2003. ISBN 0-387-98592-1.