Funció racional

En matemàtiques, una funció racional d'una variable és una funció que pot ser expressada de la forma:

a on P i Q són polinomis en la variable $x$, i sent Q distint del polinomi nul, esta fracció és irreducible, és dir que les equacions P(x) = 0 i Q(x) = 0 carixen de raïls comunes. Esta definició pot estendre's a un número finit pero arbitrari de variables, usant polinomis de vàries variables:

La paraula "racional" fa referència a que la funció racional és una raó o cocient (de dos polinomis); els coeficients dels polinomis poden ser número racional.

Les funcions racionals tenen diverses aplicacions en el camp del anàlisis numèric per a interpolar o aproximar els resultats d'atres funcions més complexes, ya que són computacionalment simples de calcular com els polinomis, pero permeten expressar una major varietat de comportaments.

Anàlisis de funcions racionals

Funció racional de grau 2:

$y=\frac{x^2-3x-2}{x^2-4}$

Funció racional de grau 3:

$y=\frac{x^3-2x}{2(x^2-5)}$

Zeros

Una funció racional val 0 solament si el seu numerador val 0. Podria dir-se, les raïls d'una funció racional

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

són les raïls del polinomi del numerador P(x). Per eixemple, la funció $f(x)=\frac{x^2-1}{x+3}$ , definida en tots els número real menys el -3, té com a raïls als valors a on $x^2-1=0$, açò és $x=1$ i $x=-1$.

Asíntotes verticals

Les asíntotes verticals són rectes de la forma x=a. En una funció racional, les asíntotes verticals estan determinades pels valors que anulen el denominador. Per eixemple, la funció $f(x)=\frac{x^2-1}{x+3}$ té una asíntota vertical d'equació $x=-3.$

Asíntotes horisontals

Les asíntotes horisontals són rectes de la forma $y=b$. En una funció racional, les asíntotes horisontals estan determinades de la següent forma:

Siga

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$,

sent P(x) i Q(x) polinomis i Q(x) no és nul. Cridarem "gr(A)" al grau d'un polinomi A.

Si gr(Q)<gr(P) llavors f(x) no té asíntota horisontal. Si gr(Q)>gr(P) llavors f(x) té una asíntota horisontal en equació i=0. Si gr(P)=gr(Q) llavors f(x) té una asíntota horisontal en equació $y=\frac{\text{Coeficiente Principal de }P}{\text{Coeficiente Principal de }Q}$.

Per eixemple, la funció $f(x)=\frac{x^2-1}{x+3}$ no té asíntota horisontal, ya que el grau del polinomi del numerador és major que el grau del denominador.

Funció homográfica

Una funció homografica és un tipo de funció racional, a on el numerador és un polinomi de grau menor o igual que 1 i el denominador és un polinomi de grau un. És dir, una funció de la forma:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

sent a, b, c, d número real i c és no nul. Si el denominador és distint de zero i si ad ≠ bc, la seua gràfica correspon a una hipérbola . Aplicant l'anàlisis de les funcions racionals, es pot fer el mateix per a les funcions homográficas.

Zeros

Una funció homografica val 0 solament si el seu numerador val 0. Si una funció homografica l'escrivim com $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ llavors la seua raïl està determinada per la raïl de ax+b. Vore que ax+b=0 si x= -b/a. Llavors la raïl d'una funció homografica és x= -b/a . Notar que si a=0, llavors la funció racional no té raïls.

Asíntotes Verticals

Siga la funció $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ les asíntotes verticals estan determinades pels valors que anulen el denominador, és dir, les que anulen cx+d. Com el denominador és una funció llineal, hi ha un sol valor que ho anula, i és x=-d/c.

Asíntotes horisontals

Siga la funció $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ en $a$ no nul, llavors la funció té una asíntota horisontal d'equació $y=a/c$ , que és el cocient entre el coeficient principal del numerador i el coeficient principal del denominador. Si a=0, la funció té una asíntota horisontal d'equació i=0, ya que el grau del polinomi del denominador és major que el del numerador.

Forma estàndar

Una atra forma en la que poden presentar-se les funcions homograficas són la següent:

$f(x)=\frac{A}{x-C}+B$

a on $A,B,C$ són número real i $A$ és no nul. A partir d'eixa expressió, es poden llegir més fàcilment els elements de la funció per a fer el seu gràfic. Fem una llectura prèvia d'eixa expressió en lo que ya sabem.

La funció $f(x)=\frac{A}{x-C}$  té com a domini $ℝ-\{C\}$ per lo tant té asíntota vertical en x=C. Al mateix temps, el grau del polinomi del denominador és de grau 1, i el del denominador és 0 per ser una constate. Estem en el cas a on l'asíntota horisontal és $y=0$.

Quan a $f(x)=\frac{A}{x-C}$ li sumem $B$, est va a desplaçar a la funció de forma vertical (cap a dalt si $B$ és positiu i cap a avall si $B$ és negatiu), per lo tant, també desplaçara a la seua asíntota horisontal. L'asíntota vertical es va a mantindre ya que el domini seguix sent el mateix quan sumem $B$. Per lo tant, sempre tindrem asíntota horisontal en $y=B$ asíntota vertical en $x=C$.

En este cas, si la funció té asíntota horisontal en i=B, tenim que $\mathrm{Im}(f)=ℝ-\{B\}$ ya que la funció mai toca a l'asíntota (i pren el valor B).

Case B=0

Si B=0 llavors l'equació de l'asíntota horisontal és i=0, per lo tant, la funció s'acosta a l'eix x sense tocar-ho. Té sentit pensar llavors que la funció no té raïls, ya que $f(x)=\frac{A}{x-C}$  (B=0) mai val 0 perque A≠0.

La funció és positiva quan A i (x-C) tenen el mateix signe. Llavors:

Si A és un número positiu, f és positiva quan x>C. Si A és un va numerar negatiu f és positiva quan x<C.

Si A és un número negatiu, f és positiva quan x<C. Si A és un va numerar negatiu f és positiva quan x>C.

Cas $C=0$ i $B\ne 0$

Si $C=0$, $f(x)=\frac{A}{x}+B$ , llavors l'asíntota horisontal no és l'eix x sino $y=B$, per lo que esta per damunt o per baix de l'eix, l'asíntota vertical és $x=0$.

Vore també

• Fracció parcial