Hipérbola

Les asíntotes de l'hipérbola es mostren com a llínees discontínues blaves que es tallen en el centre de l'hipérbola (curves roges), C. Els dos punts focals es denominen F₁ i F₂, la llínea negra que unix els vèrtiços és l'eix travesser. La prima llínea perpendicular en negre que passa pel centre és l'eix conjugat. Les dos llínees grosses en negre parals a l'eix conjugat (per lo tant, perpendicular a l'eix travesser) són les dos directrius, D₁ i D₂. L'excentricitat i (i>1), és similar al cocient entre les distàncies (en vert) des d'un punt P de l'hipérbola a un dels focs i la seua corresponent directriu. Els dos vèrtiços es troben en l'eix travesser a una distància ±a sobre el centre.

Una hipérbola (del grec ὑπερβολή) és una curva oberta de dos branques, obtinguda tallant un con recte o de revolució per mig d'un pla oblicuo no necessàriament paral a l'eix de simetria, i en àngul menor que el de la generatriz respecte de l'eix de revolució.

En geometria analítica, la definició de l'hipérbola és:

La hipérbola és el lloc geomètric de tots els punts d'un pla, tals que el valor absolut de la diferència de les distàncies a atres dos punts fixos, cridats focs, és constant.

Esta constant és igual a la distància entre els vèrtiços. Sent esta constant menor a la distància entre els focs.

Etimologia

Seccions còniques.

«Hipérbola» prové de la paraula grega ὑπερβολή (excés), i és cognado del terme lliterari «hipèrbole».

Història

Per l'inclinament del tall, el pla de l'hipérbola interseca abdós branques del con.

Segons la tradició, les seccions còniques varen ser descobertes pel geómetra i matemàtic grec Menecmo (380 a. c.-320 a. c.), en el seu estudi del problema de la duplicació de la gaveta, per mig del qual va demostrar l'existència d'una solució usant el tall d'una paràbola en una hipérbola, lo que és confirmat posteriorment pels també geómetras Proclo i Eratóstenes.

No obstant, el primer en usar el vocablo «hipérbola» va ser Apolonio de Perge en el seu tractat Còniques, considerada l'obra cim sobre el tema de la matemàtica grega, i a on es desenrolla l'estudi de les tangentes a les seccions còniques.

Equacions de l'hipérbola

Equacions canòniques en coordenades cartesianas

L'hipérbola el centre de la qual es troba en l'orige de coordenades ___*$O(0,0)$es representable per mig de una de les siguientes ecuaciones denominades de manera común como ecuación canónica o forma normal de la ecuación d'una hipérbola:

(1) $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2{x}^2-a^2{y}^2=a^2{b}^2$

o

(2) $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\Rightarrow b^2{y}^2-a^2{x}^2=a^2{b}^2$

En dichas ecuaciones $a$, $b$ y $c$, representan a els semiejes transverso, conjugado y focal, respectivamente. La ecuación (1) representa a les hipérbolas cuyo eje focal es colineal al eje $x$ y la (2) per a aquellas que lo són respecte al eje $y$. En la primera ecuación, els focos están en $F(\pm c,0)$ y els vértices en $V(\pm a,0)$. En la segunda, els focos están en $F(0,\pm c)$ y els vértices en $V(0,\pm a)$. En cualquier caso, la relació entre els tres semiejes viene dada por la igualdad:

(3) $c^2=a^2+b^2$

Sin embargo, se debe advertir que, a diferencia del caso de la elipse, no necesariamente

$a>b$

.

Equacions d'una hipérbola en centre en el punt ___*$C(h,k)$

Com en el cas anterior, l'equació assumix una de les següents formes:

(4) $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

o

(5) $\frac{(y-k{)}^2}{a^2}-\frac{(x-h{)}^2}{b^2}=1$

La ecuación (4) corresponde a hipérbolas cuyo eje focal y mayor són paralos al eje $x$, en les cuals el vértice se halla en $V(h\pm a,k)$ y els focos en $F(h\pm c,k)$. La ecuación (5) es la de les hipérbolas cuyo eje focal y mayor són paralos respecte al eje $y$ en les cuals els vértices están ubicados en $V(h,k\pm a)$ y els focos en $F(h,k\pm c)$.

Excentricitat

Seccions còniques.

L'excentricitat ___*$e$ d'una hipérbola es un valor definido como:

$e=\frac{c}{a}$

a on:

$c$ representa la mitad de la distancia del eje focal.
$a$ representa la mitad de la distancia del eje mayor.

Ya que $c$ es un valor mayor que $a$, l'excentricitat d'una hipérbola és sempre major que 1.

Equació general de l'hipérbola

L'equació general d'una hipérbola és la següent:

(5) $A{x}^2-C{y}^2+Dx+Ey+F=0$

Si els coeficientes $A$ y $C$ són de signos diferentes, no nulos y $A>0$ y $C>0$, llavors (5) representa l'equació general d'una hipérbola els eixos de la qual són parals o colineals als eixos coordenados o un parell de rectes que es tallen.

Demostració

En l'equació (5) són separades les variables en ___*$x$ y $y$ convirtiendo a $A$ y $C$ en factores comunes:

(6) $A(x^2+\frac{D}{A}x)-C(y^2-\frac{E}{C}y)=-F$

per mig de la completación de cuadrados se reescribe la ecuación anterior como:

(7) $A(x^2+\frac{D}{A}x+\frac{D^2}{4A^2})-C(y^2-\frac{E}{C}y+\frac{E^2}{4C^2})=\frac{D^2}{4A}-\frac{E^2}{4C}-F$

Ahora se convierten els trinomios de la izquierda en binomios notables:

(8) $A{(x+\frac{D}{2A})}^2-C{(y-\frac{E}{2C})}^2=\frac{D^2}{4A}-\frac{E^2}{4C}-F$

Se convierte el término de la derecha a una constante denominada $t$. d'acuerdo al valor de $t$, se presentan els siguientes casos:

1. Si $t>0$, els ejes transverso y focal de la curva són paralos o colineals al eje $x$.
2. Si $t<0$, els ejes transverso y focal de la curva són paralos o colineals al eje $y$.
3. Si $t=0$, la ecuación representa a dos rectas que se cortan. Cualquiera que sea el caso, el centro de la hipérbola o el punto d'intersecció de les dos rectas es siempre $C(-\frac{D}{2A},\frac{E}{2C})$.

Equació de l'hipérbola en la seua forma complexa

Una hipérbola en el pla complex és elloc geomètric format per un conjunt de punts ___*$z$, en el plano $ReIm$; tals que, cualquiera d'ellos satisface la condició geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias $|z-w_1|-|z-w_2|$, a dos puntos fijos llamados focos $w_1$ y $w_2$, es una constante positiva igual al doble de la distancia (o sea $2l$ ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal:

$|z-w_1|-|z-w_2|=2l$

Evidentment esta operació es porta a terme en el conjunt dels número complex.

Equacions en coordenades polars

Dos hipérboles i les seues asíntotes en coordenades cartesianas.

Hipérbola oberta de dreta a esquerra:

___*$r^2=a\sec 2\theta$

Hipérbola abierta d'arriba abajo:

$r^2=-a\sec 2\theta$

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

$r^2=a\csc 2\theta$

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

$r^2=-a\csc 2\theta$

Hipérbola con origen en el foco derecho:

$r(\theta )=\frac{a({\epsilon }^2-1)}{1-\epsilon \cos \theta }$

Hipérbola con origen en el foco izquierdo:

$r(\theta )=\frac{a({\epsilon }^2-1)}{1+\epsilon \cos \theta }$

Equacions paramètriques

Hipérbola oberta de dreta a esquerra:

___*$\begin{array}{c}x=a\sec t+h\\ y=b\tan t+k\end{array}t\in ]-\pi /2,\pi /2[\cup ]\pi /2,3\pi /2[\text{(un intervalo per a cada rama)}$

o

$\begin{array}{c}x=\pm a\sec t+h\\ y=b\tan t+k\end{array}t\in ]-\pi /2,\pi /2[\text{(un signo per a cada rama)}$

Más manejable es la parametrisació

$r(t)=(a\cosh (t),\pm b\sinh (t)),t\in ℝ$ (un signo per a cada rama). En este caso el vértice en cada rama es $r(0)$ y els puntos $r(t)$ y $r(-t)$ són simétricos respecte al eje focal. En particular podemos graficar una parte de cada rama usando cualquier intervalo: $t\in [-s,s]$, per eixemple $t\in [-1,1]$

Hipérbola abierta d'arriba abajo:

$\begin{array}{c}x=a\tan t+h\\ y=b\sec t+k\end{array}$

También

$r(t)=(a\sinh (t),\pm b\cosh (t)),t\in ℝ$. En este caso el vértice en cada rama es $r(0)$ y els puntos $r(t)$ y $r(-t)$ són simétricos respecte al eje focal. En todas les fórmulas $h$ y $k$ són les abcisa y ordenada, respectivamente, del centro de la hipérbola, $a$ es la longitut del semieje mayor, $b$ es la longitut del semieje menor.

Parámetros focals de la hipérbola y=1/x

Vore també: Hipérbola unitaria

Correspondencia entre la hipérbola equilátera $y=1/x$ y su forma focal $x{\text{'}}^2/2-y{\text{'}}^2/2=1$

per a determinar els parámetros focals d'una hipérbola equilátera definida según la ecuación:

$y=1/x$

se puede aplicar una operación matricial que permite modificar les coordenades d'un conjunto de puntos del plano cuando se les aplica un giro $\theta$:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \mathrm{sen}\theta \\ -\mathrm{sen}\theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Como la hipérbola equilátera $y=1/x$ está girada en respecte al eje x según un ángulo $\theta =45\text{°}$, la matriz de transformación toma la forma:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2\\ -\sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

Partiendo de la ecuación de la hipérbola equilátera $y=1/x$, la transformación pasa a ser:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2\\ -\sqrt{2}/2& \sqrt{2}/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ 1/x\end{array}\right]$

Operando la matriz, resulta:

$x^{\prime }=\sqrt{2}/2(x+1/x)$

$y^{\prime }=\sqrt{2}/2(-x+1/x)$

Calculando $x{\text{'}}^2-y{\text{'}}^2$, se tiene que:

$x{\text{'}}^2-y{\text{'}}^2=2/4[(x^2+1/x^2+2)-(x^2+1/x^2-2)]=2$

de a on se deduce que:

$x{\text{'}}^2/2-y{\text{'}}^2/2=1$

d'acuerdo con la notación focal, se tiene que la hipérbola equilátera $y=1/x$ tiene semiejes de valor $a=b=\sqrt{2}$, y la distancia de sus focos al origen es:

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2+2}=2$

Dado que els focos se encuentran en la recta de simetría $y=x$ (inclinada 45°) que corta la hipérbola equilátera $y=1/x$, sus coordenades proyectades sobre els ejes són:

$f_1=2(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)=(\sqrt{2},\sqrt{2})$

$f_2=2(-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2)=(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$

Elements de l'hipérbola

Obtenció d'una hipérbola per mig de la secció d'un con doble.

Eix focal

És la recta que passa pels focs de l'hipérbola.

Eix normal

Recta que passa pel centre i és ortogonal a l'eix focal.

Segment focal

És el segment rectilíneo els extrems del qual són els focs de l'hipérbola. A la mida de la seua distància usualment se li assigna ___*$2c$.

Eix travesser o transverso

Se li denomina aixina al segment rectilíneo els extrems del qual són els vèrtiços de l'hipérbola. A la mida de la seua distància usualment se li assigna ___*$2a$ i és perpendicular a l'eix conjugat. Este segment està inclós en el segment focal.

Eix conjugat

És el segment rectilíneo els extrems del qual són els vèrtiços imaginaris i el punt mig dels quals és el centre. A la mida de la seua distància usualment se li assigna ___*$2b$. Este eix és perpendicular o normal a l'eix travesser.

Asíntotes

Són les rectes que es intersecan en el centre de l'hipérbola i s'acosten a les branques en alluntar-se estes del centre de l'hipérbola. Les equacions de les asíntotes aplicables a les equacions (1) i (2) són, respectivament:

___*$\{\begin{array}{ccc}y& =& \pm \frac{b}{a}x\\ \\ y& =& \pm \frac{a}{b}x\end{array}$

les asíntotas de les hipérbolas representades per les ecuaciones (4) y (5) són expresades, respectivamente, igualando estas a cero, como sigue:

$\{\begin{array}{c}(\frac{x-h}{a}-\frac{y-k}{b})(\frac{x-h}{a}+\frac{y-k}{b})=0\\ \\ (\frac{y-k}{a}-\frac{x-h}{b})(\frac{y-k}{a}+\frac{x-h}{b})=0\end{array}$

Vèrtiços

Els vèrtiços d'una hipérbola són els punts que són els extrems del seu eix travesser. Un vèrtiç és un punt d'intersecció en el que es troben dos o més llínees o segments de llínea. En matemàtiques i geometria, els vèrtiços són elements fonamentals de les figures geomètriques.

Focs

Són dos punts, ___*$F_{1}y{F}_2$, respecte dels cuals permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, $x$, de dicha hipérbola.

$|d(F_1,x)-d(F_2,x)|=2a$

Centre

Punt mig dels vèrtiços i dels focs de l'hipérbola.

Tangentes

La tangente a una hipérbola en qualsevol punt de la curva és bisectriz de l'àngul format pels radis vectores d'eixe punt.

Ràdio de curvatura

Siga ___*$M(x_0,y_0)$ un punto de la hipérbola, entonces el radio de curvatura de la curva es:

$R=a^2{b}^2{(\frac{x_0^2}{a^4}+\frac{y_0^2}{b^4})}^{\frac{3}{2}}=\frac{(r_1\cdot r_2{)}^{1.5}}{ab}$

Àrees

Àrea compresa entre una branca d'hipérbola i una corda que la travessa

Siga un segment ___*$AMN$ a on $A$, es el vértice d'una rama y $M$ y $N$ són els extremos d'una cuerda perpendicular al eje focal, entonces el área es:

$AMN=x\cdot y-a\cdot b\cdot \ln (\frac{x}{a}+\frac{y}{b})=a\cdot b\cdot {\cosh }^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$

Àrea baix un arc d'hipérbola

Siga un quadrilàter curve ___*$OAMG$, formado pels puntos $O$ que es el origen de coordenades; $A$ que es un vértice; $M(x,y)$ que es un punto de la rama d'una hipérbola y $G$ un punto sobre una asíntota, tal que el segmento $MG$ és paral a l'atra asíntota. L'àrea compresa pels llímits de la figura és:

Trisecció angular

Trisecció d'un àngul (AOB) usant una hipérbola d'excentricitat 2 (curva groga)

Com va demostrar Apolonio de Perge, es pot usar una hipérbola per a trisecar un àngul, un problema de geometria ben estudiat. Donat un àngul, primer es dibuixa un círcul centrat en el seu vèrtiç O, que interseca els costats de l'àngul en els punts A i B. A continuació, es traça el segment en els extrems A i B i la seua bisectriz perpendicular ___*$\ell$. Constrúyase una hipérbola d'excentricidad e=2 con $\ell$ como directriz y B como foco. Sea P la intersecció (superior) de la hipérbola con el círculo. El ángulo POB triseca el ángulo AOB. per a probar esto, reflejar el segmento OP sobre la línea $\ell$ per a obtindre el punt P com l'image de P. El segment AP té la mateixa llongitut que el segment BP per la reflexió, mentres que el segment PP té la mateixa llongitut que el segment BP per l'excentricitat de l'hipérbola. Com OA, OP, OP i OB són tots ràdios del mateix círcul (i per lo tant, tenen la mateixa llongitut), els triànguls OAP, OPP i OPB són tots congruents. En conseqüència, l'àngul s'ha trisecado, ya que 3×POB=AOB.

Atres propietats

Relació d'inversió entre l'hipérbola i la lemniscata de Bernouilli

• l'inversió d'una hipérbola equilátera és una lemniscata de Bernouilli i viceversa.
• La lemniscata de Bernouilli és la podaria d'una hipérbola equilátera.

Vore també

• Geometria analítica
• Secció cònica
• Recta
• Circumferència
• Elipse
• Paràbola
• Esferes de Dandelin
• Hipérbola unitària
• Hiperbòlic

Bibliografia

• (2003).«Ruler and the Round».Dover.Mineola, N. I.:

Enllaços externs

Tens que especificar títul = i url = al usar {{cita web}}.. Hipérbola en el Viccionari. Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Hipérbola.
• wikimatematica. org/index. php? title=La_Hip%C3%A9rbola Eixercicis resolts i video tutorials sobre hipérbola
• archive. org/web/20111012051005/http://stefanelli. eng. br/webpage/es_hiperbola. html Animació d'un pla seccionant un con i determinant la curva cònica hipérbola
• archive. org/web/20070625162103/http://mathdl. maa. org/convergence/1/? pa=content&sa=viewDocument&nodeId=196&bodyId=204 Apollonius' Derivation of the Hyperbola at archive. org/web/20060212072618/http://mathdl. maa. org/convergence/1/ Convergence
• Plantilla:Planetmath reference
• Plantilla:Planetmath reference
• Plantilla:Planetmath reference
• Hipérbola en MathWorld.