Trisecció de l'àngul

Trisecció d'Arquímedes, usant un método neusis. Es val d'una regla en la que es marca la distància AB (igual al radi de la cirunferencia, OQ). L'àngul que triseca l'àngul principal, s'obté fent pivotar i esgolar la regla pel punt P (que definix l'àngul donat POQ), fins a conseguir que el punt As situe sobre l'eix horisontal, i que el punt B se situe sobre la circumferència. S'ilustra per als ànguls α (>90°) i β (<90°)

La trisecció de l'àngul és un dels tres problemes clàssics de l'antiga matemàtica grega. El problema consistix en trobar un àngul la mida del qual siga un terç d'un atre àngul donat, utilisant únicament regla i compàs.

El problema és senzill en alguns casos (per eixemple, si l'àngul donat és recte o si en l'agranada per la circumferència total pot construir-se un àngul que siga la tercera part del mateix), pero és impossible de resoldre en general, com va demostrar Pierre Wantzel en el seu artícul Recherches sur els moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut es résoudre avec la règle et li compas, de 1837. La seua demostració utilisa la teoria de Galois.

La trisecció de l'àngul és un dels problemes clàssics de l'antiguetat grega que va sobreviure sense ser resolt fins a el XIX, junt en la quadratura del círcul i la duplicació de la gaveta. Este últim va ser resolt en el mateix artícul per Wantzel, demostrant el seu irresolubilidad. La quadratura del círcul també és impossible, com va provar Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882.

És possible trisecar un àngul arbitrari utilisant ferramentes distintes a la regla i el compàs. Per eixemple, el método neusis, també conegut pels antics grecs, implica l'esmonyida i la rotació simultàneus d'una regla graduada, lo que no es pot conseguir en les ferramentes originals. Els matemàtics varen desenrollar atres tècniques en els sigles posteriors.

Degut a que el problema de la trisecció de l'àngul està definit en térmens simples, pero és complex fins al punt de ser irresoluble, es va convertir en un tema freqüent d'intents pseudomatemáticos de resolució per part d'entusiasta ingenus. Estes solucions a sovint impliquen interpretacions errònees de les regles o simplement són incorrectes.

Antecedents i enunciat del problema

La bisecció d'ànguls arbitraris es coneix des de l'antiguetat

Usant solament una regla sense marcar i un compàs, els matemàtics grecs varen trobar la manera de dividir una llínea recta en un conjunt arbitrari de segments iguals, dibuixar rectes paraleles, bisecar ànguls, construir alguns polígons regulars i generar quadrats d'igual o dos voltes l'àrea d'un determinat polígon.

No obstant, tres problemes específics varen resultar ser especialment esquivos: trisecar un àngul, duplicar una gaveta i quadrar un círcul. El problema de la trisecció de l'àngul s'enuncia aixina:

Prova d'impossibilitat

Regles graduades. Les que es mostren estan marcades: una regla ideal no està marcada

Compassos

Pierre Wantzel va publicar una prova de l'impossibilitat de trisecar clásicamente un àngul arbitrari en 1837. La prova de Wantzel, reformulada en terminologia moderna, usa l'àlgebra abstracta d'extensió de cossos, un tema que ara es combina típicament en la teoria de Galois. No obstant, Wantzel va publicar estos resultats abans que Galois (el treball dels quals es va publicar en 1846) i no va utilisar la conexió entre extensions de cossos i grups que és el tema específic de la teoria de Galois.

El problema de construir un àngul d'una mida donada θ és equivalent a construir dos segments de manera que la raó de la seua llongitut siga cos θ. D'una solució a un d'estos dos problemes, es pot passar a la solució de l'atre per mig d'una construcció en regla i compàs. Existix una expressió trigonométrica que relaciona els cosenos de l'àngul original i de la seua trisecció:

cos θ = 4 cos³ Plantilla:Sfrac − 3 cos Plantilla:Sfrac

D'això es deduïx que, donat un segment que es definix en una llongitut unitària, el problema de la trisecció de l'àngul és equivalent a construir un segment la llongitut del qual és la raïl d'un polinomi de tercer grau. Esta equivalència reduïx el problema geomètric original a un problema purament algebraic.

Tot número racional és construible. Cada número irracional que és construible en regla i compàs en un sol pas a partir d'alguns números donats és una raïl d'un polinomi de grau 2 en coeficients en el cos al que pertanyen estos números. Per lo tant, qualsevol número que es puga construir per mig d'una seqüència finita de passos és una raïl d'un polinomi mínim el grau del qual és una potència de dos. L'àngul Plantilla:Sfrac radianes (60 graus, 60°) és construible. El següent argument demostra que és impossible construir un àngul de 20°, lo que implica que no es pot trisecar un àngul de 60° i, per lo tant, que no es pot trisecar un àngul arbitrari.

Denote's el conjunt dels número racional per Q. Si es poguera trisecar un àngul de 60°, el grau d'un polinomi mínim de cos 20° sobre Q seria una potència de dos. Ara, considere's x = cos 20°. Es deu tindre en conte que cos 60° = cos Plantilla:Sfrac = Plantilla:Sfrac. Després, per la fòrmula del triple àngul, cos Plantilla:Sfrac = 4x³ − 3x, i igualment, 4x³ − 3x = Plantilla:Sfrac.

Llavors, 8x³ − 6x − 1 = 0, i es definix p(t) com el polinomi p(t) = 8t³ − 6t − 1.

Ya que x = cos 20° és una raïl de p(t), el polinomi mínim per a cos 20° és un factor de p(t). Degut a que p(t) té grau 3, si té solució en Q, llavors té una raïl racional. Segons el teorema de la raïl racional, esta raïl deu ser ±1, ±Plantilla:Sfrac, ±Plantilla:Sfrac o ±Plantilla:Sfrac, pero cap d'elles és una raïl del polinomi. Per lo tant, p(t) és irreducible sobre Q, i el polinomi mínim per a cos 20° és de grau 3.

<o>Per lo tant, un àngul de 60° no es pot trisecar.</o>

Vore també

• Bisecció
• Número construible
• Polígon construible
• Geometria euclidiana
• Història de la geometria
• Teorema de Morley
• Cuadratriz
• Trisectriz
• Criptografia geomètrica
• Unes atres construccions impossibles en regla i compàs:
  • La quadratura del círcul
  • La duplicació de la gaveta